Contributions to determinant theory. (Q1561885)

I. Directer Beweis des Cayley'schen Satzes, dass eine Determinante grader Ordnung, deren Elemente die Relation \[ a_{i,k} + a_{k,i}=0 \] erfüllen, das Quadrat des von Jacobi (Crelle J. XXIX. p. 236) mit \((1, 2 \cdots n)\) bezeichneten Ausdruckes sei. II. Die bekannte Euler-Cayley'sche Darstellung der Coefficienten einer orthogonalen Substitution durch \(1/2(n-1)\) unabhängige Grössen. III. Weniger bekannt dürfe folgende Identität sein: \[ f(x)\equiv a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n}=a_{0}\left|\begin{matrix} \l&&\quad\l\\ x & \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_{n-1} & 1\\ \alpha_1 & x & \alpha_2 & \cdots & \alpha_{n-1} & 1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & x & \cdots & \alpha_{n_1} & 1\\ \hdotsfor6\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \cdots & x & 1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \cdots & \alpha_n & 1\end{matrix}\right| \] wo die \(\alpha\) die Wurzeln der Gleichungen \(f(x)=0\) bezeichnen.