Some remarks on a determinant. (Q1561888)

Auf sehr einfache Weise wird der Werth von \[ D=\left|\begin{matrix}\l&&\quad\l\\ a_1 & a_2 & \cdot\cdot & a_n\\ a_n & a-1 & \cdot \cdot & a_{n-1}\\ \hdotsfor4\\ a_2 & a_3 \cdot\cdot & a_1\end{matrix}\right|=\varPi (a_{1} + a_{2}\beta + \cdot\cdot + a_{n}\beta^{n-1}) \] abgeleitet, wo das \(\varPi\) sich über alle Werthe von \(\beta\) erstreckt, für die \(\beta^{n}=1\) ist. Setzt man \(\varSigma a_{\lambda}=s;\;\;D=\varSigma A_{\lambda} a_{\lambda};\;\;\varSigma A_{\lambda}=N\), so ist \(D=sN.\) Ist \(n\) Primzahl, \(\beta \gtrless 1\) und \[ D=s(a_{1} + a_{2}\beta^{n-1} + \cdot\cdot )\;(b_{1} + b_{2}\beta + b_{3}\beta^{2} + \cdot \cdot ), \] so folgt für die hierdurch bestimmten \(b_{\lambda}\), wenn \(\varSigma a_{\lambda}b_{\lambda}=S\) gesetzt wird, \[ D=s \left(S + \frac{S - s^{n-1}}{n-1}\right)\text{und}\;\; N=\frac{nS-s^{n-1}}{n-1}. \] Für ganzzahlige \(a_{\lambda}\) folgt weiter \(\varSigma A_{\lambda}\equiv s^{n-1}\) (mod. \(n\)) und \(S\equiv s^{n-1}\) (mod. \(n-1\)); ausserdem \(A_{t}=\frac{S-s^{n-1}}{n-1} + sb_{t}\), also \(A_{t} - A_{u}=s(b_{t} - b_{u})\). Hieran schliesst sich eine Untersuchung der Determinante \[ \left|\begin{matrix}\l&&\quad\l\\ \alpha\quad \alpha^r & \alpha^{r^2} & \cdot\cdot & \alpha^{r^{n-2}}\\ \alpha^r & \alpha^{r^2} & \cdots & \alpha\\ \hdotsfor4\\ \alpha^{r^{n-2}} & \alpha & \cdots & \alpha^{r^{n-3}}\end{matrix}\right| = A, \] wobei \(n\) Primzahl, \(\alpha\) eine \(n\)te Wurzel der Einheit, die Einheit selbst ausgenommen, und \(r\) eine primitive Wurzel von \(n\) ist.