Note on certain properties of determinants, in particular those of matrices formed with the series of figurate numbers. (Q1561889)

Die Determinante \(P=\varSigma \pm a_{1,1}\cdot a_{2,2} \cdot \cdot a_{k,k}\) kann auf die Form \(P=P_{1}\cdot (a_{m,m})^{2-k}\) gebracht werden, wobei \[ P_{1}=\varSigma\pm a_{1,1}' \cdot \cdot a_{k, k}'\;\;\text{und}\;\;a_{rs}'=a_{m,m}a_{r,s} - a_{r,m}a_{m,s} \] ist. Fährt man so fort, dann ergiebt sich \[ P=(a_{m,m})^{2-k}\cdot (a_{n, n}')^{3-k}\cdot \cdot (a_{s, s}^{(k-3)})^{-1}\;(a_{t,t}^{(k-1)}). \] Mit Hülfe dieses Satzes wird bewiesen, dass \[ \left|\begin{matrix}\r&&\quad\r\\ \alpha, & \alpha + \delta, & \alpha + 2\delta, & \alpha + 3\delta,\cdot\cdot\\ \alpha, & 2\alpha+\delta, & 3\alpha+3\delta, & 4\alpha + 6\delta,\cdot\cdot\\ \alpha, & 3\alpha+\delta, & 6\alpha+4\delta, & 10\alpha+10\delta,\cdot\cdot\\ \cdot\cdot\\ \cdot\cdot\end{matrix}\right| = \alpha^k\cdot \left|\begin{matrix} 1, & 1, & 1,& \cdot\cdot\\ 1,& 2, & 3, & \cdot\cdot\\ 1,& 3, & 6, & \cdot\cdot\\ \cdot\cdot\\ \cdot\cdot\end{matrix}\right| =\alpha^k \] ist.