Solutions of the questions 876. 877. 878. 879. (Q1561909)

1) Wenn die Verwandlung eines Bruches \(\frac{a}{b}\) in einen Decimalbruch eine Periode von \(n\) Stellen ergiebt, so giebt jeder nicht reducirbare Bruch, dessen Nenner einem Vielfachen von \(b\) gleich ist, eine Periode, deren Stellenzahl einem Vielfachen von \(n\) gleich ist. 2) Wenn die Verwandlung mehrerer nicht reducirbarer Brüche \(\frac{a}{b}, \frac{a'}{b'}, \frac{a''}{b''}, \ldots\) in Decimalbrüche auf Perioden führt, deren Stellenzahlen \(n, n', n'' \ldots\) sind, so giebt jeder nicht reducirbare Bruch, dessen Nenner dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Nenner \(b, b', b'', \ldots\) gleich ist, eine Periode, deren Stellenzahl dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Zahlen \(n, n', n'' \ldots\) gleich ist. 3) Wenn die Verwandlung eines nicht reducirbaren Bruches, dessen Nenner eine Primzahl \(p\) ist, in einen Decimalbruch auf eine Periode von \(n\) stellen führt, und wenn \(p^{\alpha}\) die grösste Potenz von \(p\) ist, welche in \(10^{n}-1\) enthalten ist, so führt jeder nicht reducirbare Bruch, dessen Nenner \(p^{\alpha +\beta}\) ist, auf eine Periode von \(np^{\beta}\) Stellen. 4) Bestimmung der Stellenzahlen der Perioden, welche durch die Verwandlung eines nicht reducirbaren Buches mit dem Nenner 1020 entstehen.