Probability notation. (Q1561956)

Es wird folgende Definition aufgestellt: Das Symbol \(\int \;\varphi \;(x)px\) drückt den Grenzwerth aus von \(\varSigma \varphi \;(x)\varDelta x\) wenn \(\varDelta x\) unbegrenzt abnimmt, während die Anzahl der Glieder unbegrenzt wächst, wobei jedoch für jeden positiven Werth von \(\varphi \;(x)\), der grösser als die Einheit ist, die Einheit, und für jeden negativen Werth von \(\varphi \;(x)\) die Null gesetzt wird. Dann hat man also: 1) Wenn \(\varphi \;(x)\) negativ für alle Werthe von \(x\) zwischen \(a\) und \(b\) ist, \[ \int_{a}^{b}\varphi \;(x)px=0; \] 2) Wenn \(\varphi \;(x)\) positiv und kleiner als Eins ist für alle Werthe von \(x\) zwischen \(a\) und \(b\) \[ \int_{a}^{b}\varphi \;(x)px = \int_{a}^{b} \varphi \;(x)dx; \] 3) Wenn \(\varphi \;(x) > 1\) zwischen \(a\) und \(b\), \[ \int_{a}^{b} \varphi \;(x)px= \int_{a}^{b} dx = b - a, \] z. B. \[ \int_{1}^{9} (5-x) px = \int_{5}^{9}0dx+\int_{4}^{5}(5-x)dx+ \int_{1}^{4} 1dx= \] \[ 0+ \int_{4}^{5}(5-x)dx+(4-1)= 3\frac{1}{2}. \] 4) Bedeutet \(\varphi \;(x)\) für alle gegebenen Werthe von \(x\) zwischen \(a\) und \(b\) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereigniss, welches von \(x\) abhängt, eintritt [wobei für \(\varphi \;(x)\) die Einheit genommen wird, wenn \(\varphi \;(x)>1\) und Null, wenn \(\varphi \;(x)<0\)], dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereigniss eintritt, wenn \(x\) beliebig zwischen \(a\) und \(b\) angenommen wird: \[ \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}\varphi \;(x)px, \] indem dies den mittleren Werth der Wahrscheinlichkeit \(\varphi \;(x)\) angiebt, wenn \(x\) die Werthe von \(a\) bis \(b\) durchläuft. Es wird ferner folgende Regel gegeben: Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass irgend eine Function \(\varphi \;(x, y, z,\ldots u, v)\) irgend einer Bedingung \(M\) genügen wird, wenn \(x, y, z\ldots\) beliebig zwischen ihren betreffenden Grenzen genommen werden, suche man erst die Wahrscheinlichkeit, dass \(M\) genügt wird, wenn nur eine der Veränderlichen, \(v.\) z. B. beliebig genommen wird, während die anderen feste Werthe erhalten. Dann suche man die mittleren Werthe dieser Wahrscheinlichkeit, welche \(v\) nicht mehr enthält, wenn eine andere Veränderliche, \(u\) z.B., beliebig genommen wird u. s. w., bis alle Veränderlichen erschöpft sind. Das Resultat giebt die verlangte Wahrscheinlichkeit. Als Beispiel wird die Wahrscheinlichkeit reeller Wurzeln der Gleichung \[ ax^{2} - by + c=0 \] bestimmt, wenn \(a, b, c\) beliebige Werthe zwischen 1 und 10 haben. Sie ist \[ \frac{1500\log 2 + 160\sqrt{10} - 468}{6561} = 0,1642\ldots \] .