On the expansion of algebraic functions in series. (Q1562107)

Puiseux hat in seiner Arbeit: Recherches sur les fonctions algébriques (Liouville J. XV.) eine Methode zur Entwickelung algebraischer Functionen in Potenzreihen gegeben, indem er zeigte, dass die der Gleichung \(f(u, z)=0\) genügenden Functionen \(u\) von \(z\) in eine gewisse Anzahl cyklischer Systeme zerfallen, und diese Systeme darstellte. Es werden nämlich aus den Gliedern der Gleichung \(f(u, z)=0\) auf alle mögliche Arten Gruppen gebildet, deren jede nur solche Glieder enthält, welche von gleicher und niedrigerer Ordnung als alle übrigen sind, und diese Gruppen liefern die verschiedenen Ordnungen von \(u-b\), wo \(b\) einen der Werthe bezeichnet, in den \(u\) für \(z=a\) übergeht. Herr Hamburger giebt nun eine Methode, mit deren Hülfe man ohne vorherige Dimensionsbestimmungen auf rein analytischem Wege zu den Reihenentwickelungen gelangt. Zunächst wird für den Fall, dass \(\frac{\partial f}{\partial y}\) nicht gleichzeitig mit \(f(x, y)=0\) für \(x = x_{0},\; y = y_{0}\) verschwindet, der Cauchy'sche Satz bewiesen, dass es eine der Gleichung \(f=0\) genügende Function von \(x\) giebt, die sich durch eine in der Umgebung von \(x_{0}\) unbedingt convergente Reihe nach ganzen positiven Potenzen von \(x - x_{0}\) darstellen lässt und für \(x = x_{0}\) den Werth \(y_{0}\) annimmt. Der \(\S\) 2 behandelt den Fall, wo \(\frac{\partial f}{\partial y}\) für \(x = x_{0},\;y = y_{0}\) verschwindet, aber \(\frac{\partial f}{\partial x}\) nicht. Hier hat Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen über elliptische Functionen ein Verfahren gegeben, das zur Reihenentwickelung führt. Was den dritten Fall endlich betrifft, wo \(\frac{\partial f}{\partial x}\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}\) zugleich verschwinden, so kann man durch ein ähnliches Verfahren nur bei einer besonderen Classe von Gleichungen zum Ziele gelangen, bei denen sich nämlich die Glieder der Entwickelung der Function \(f(x, y)\) nach dem erweiterten Maclaurin'schen Satze in folgender Form vereinigen lassen: \[ 0=(x - x_{0})^{m}\;\varphi\;(x, y) - (y - y_{0})^{n}\;\psi\;(x, y)=f(x, y), \] wo \(\varphi \;(x, y)\) und \(\psi \;(x, y)\) für \(x = x_{0},\;y = y_{0}\) nicht verschwinden. Nach Vorwegnahme dieser speciellen Classe entwickelt Herr Hamburger seine Methode für den allgemeinen Fall, dass \(\frac{\partial f}{\partial x}\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}\) für \(x = x_{0},\;y = y_{0}\) zugleich verschwinden. Er untersucht nämlich die Endgleichung, welche die verschiedenen Werthe der ersten Ableitung \(\frac{dy}{dx}\) der gesuchten Function im betrachteten singulären Punkte zu Wurzeln hat. Ist \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{0}\) endlich, so wird durch eine einfache Substitution eine neue Variable eingeführt, deren Werthe im singulären Punkte mit den endlichen Wurzeln jener Endgleichung zusammenfallen; ist \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{0}= \infty\), so wird die inverse Substitution benutzt. Hat die Endgleichung nur einfache Wurzeln, so genügt die erste Substitution zu den gesuchten Reihenentwickelungen. Für die vielfachen Wurzeln aber lässt sich nachweisen, dass man durch eine endliche Zahl von Transformationen, wobei die Substitution nach dem nämlichen Princip zu wiederholen ist, schliesslich zu verschiedenen Wurzeln der Endgleichung für die erste Ableitung der substituirten Function, also zu getrennten Entwickelungen gelangt. Zur Erläuterung führt der Verfasser die erforderlichen Operationen an einem Beispiele durch, welches auch Puiseux behandelt hat, und gelangt zu denselben Resultaten wie dieser.