On the problem of the in- and circumscribed triangle. (Q1562310)

Das Problem ist ein specieller Fall von dem des ein- und umgeschriebenen Polygons. Das letztere Problem kann so aufgestellt werden: Man soll ein Polygon finden, dessen Winkel in einer oder mehreren gegebenen Curven gelegen sind, und dessen Seiten eine oder mehrere Curven berühren. Die erste Frage ist, wie gross ist die Zahl solcher Polygone. Sind die Curven, welche die Seiten berühren und die Winkel enthalten, alle verschieden, so erhält man die Zahl der Polygone leicht und zwar in einem einfachen Ausdruck. Sie ist gleich dem doppelten Produkt der Ordnungen der Curven, die die Winkel enthalten, in das Produkt der Classen der Curven, welche von den Seiten berührt werden. Sind aber einige der Curven eine und dieselbe oder speciell, sind die Winkelcurven und Seitencurven alle eine und dieselbe Curve, so ist die Lösung des Problems, die Zahl der Polygone zu finden, weit schwerer. Die Lösung des Problems für den Fall des Dreiecks und für alle die verschiedenen Möglichkeiten der Identität der Curven ist der Gegenstand dieser Arbeit. Die Methode und die Principien, die auch auf den Fall eines Polygons von beliebiger Seitenzahl anwendbar sind, beruhen hauptsächlich auf der Theorie der Correspondenz, die auseinandergesetzt wird. Die Resultate für das Dreieck sind in eine Tafel zusammengestellt, die 8 Seiten fasst und 52 Fälle enthält. Im letzten von diesen ist \(a = c = e = B = D = F\), d. h. die Curven, welche die Winkel enthalten, und die Seiten berühren, sind ein und dieselbe Curve von der Ordnung \(x\) und der Classe \(X\), für welche \(\xi\) bezeichnet die Zahl der Spitzen + 3 Mal die Classe oder die Ordnung. Für diesen, den schwierigsten Fall, ist die Anzahl der Dreiecke \[ \begin{matrix} \l& \r\\ = X^{4}(& + 1)\\ + X^{3}(& + 2x^{3} - 18 x^{2} + 52x - 46)\\ + X^{8}(& - 18x^{3} + 162x^{2} - 420x + 221)\\ + X\;(& + 52x^{3} - 420x^{2} + 704x + 172)\\ + & ( + 1x^{4} - 46x^{3} + 221x^{2} + 172 x\qquad\qquad)\\ + \xi \Biggl\{ & \begin{matrix}\l&\r\qquad\\ \quad X^2(&-9)\qquad\\ +X(& -12x+135)\qquad\\ +\quad (& -9x^2+135x-600)\qquad\end{matrix}\Biggr\},\end{matrix} \] was als Beispiel für die in der Arbeit enthaltenen Resultate dienen mag.