Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni. (Q1562314)

Das Hauptaugenmerk ist die analytische Bestimmung der Beziehungen der in einander enthaltenen Räume gleicher und verschiedener Dimensionszahl; es folgen alsdann noch zwei Theoreme. Der Raum von \(n\) Dimensionen \(S_{n}\) ist die \(n\)fache Mannichfaltigkeit des Systems variabler Coordinaten \(z_{1}, z_{2}, \cdots z_{n}\), welche als rechtwinklig aufzufassen sind. Diese Bestimmung ist offenbar nicht ausreichend, da eine \(n\)fache Mannichfaltigkeit eines Systems von mehr als \(n\) Variabeln auch ein Raum von \(n\) Dimensionen heisst, der definirte also nur den ebenen Raum bezeichnet. Im folgenden wird \(n\) als feststehende Anzahl der Variabeln überall vorausgesetzt. Ein specielles Werthsystem bestimmt einen Punkt in \(S_{n}, m\) Gleichungen einen in \(S_{n}\) enthaltenen Raum von \(n-m\) Dimensionen. Der Raum \(S_{n-1}\), bestimmt durch \[ F(z_{1}, z_{2}, \cdots z_{n})=0, \] theilt \(S_{n}\) in zwei Regionen \(F<0\) und \(F>0\). Eine solche Region heisst zusammenhängend, wenn man von jedem Punkte derselben zum andern stetig übergehn kann, ohne dass \(F=0\) wird. Macht man die \(z\) zu Functionen von \(n-1\) Parametern \(u_{1}, u_{2}, \cdots u_{n-1}\), setzt \[ \varDelta = \left|\begin{matrix} A_1 \;\frac{dz_1}{du_1} & \frac{dz_1}{du_2} &\cdots &\frac{dz_1}{du_{n- 1}}\\ \\ A_2 \;\frac{dz_2}{du_1} & \frac{dz_2}{du_2} & \cdots & \frac{dz_2}{du_{n-1}}\\ \quad \vdots & & &\vdots \\ \\ A_n \;\frac{dz_n}{du_1} & \frac{dz_n}{du_2} & \cdots & \frac{dz_n}{du_{n-1}}\end{matrix}\right|\,, \] \[ \mu^{2} = \sum_{m=1}^{m=n} \left(\frac{dF}{dz_{m}}\right)^{2}; \quad M^{2} = \sum_{m=1}^{m=n} \left(\frac{d\varDelta}{dA_{m}}\right)^{2}, \] so erhält man: \[ \frac{dF}{dz_{m}} = \frac{\mu}{M}\;\frac{d\varDelta}{dA_{m}}. \] Variirt nun ein Punkt mit einem Parameter \(t\) längs einer Linie, die \(S_{n-1}\) schneidet, und giebt man von einem Schnittpunkt an gerechnet dem \(t\) das Inerement \(\delta t\), so ergiebt sich aus dieser Formel die Relation: \[ dF = \frac{\mu D}{M}\delta t, \] wo \(D\) aus \(\varDelta\) durch die Substitution \(A_{m} = \frac{dz_{m}}{dt}\) hervorgeht. Am Vorzeichen von \(D\) lässt sich dann erkennen, ob der bewegte Punkt aus der Region \(F<0\) in die Region \(F>0\) übergeht oder umgekehrt. Das Linienelement in \(S_{n}\) ist ausgedrückt durch \[ ds_{n}^{2} = dz_{1}^{2} + dz_{2}^{2} + \cdots dz_{n}^{2}, \] in \(S_{n-1}\) durch \[ ds_{n-1}^{2} = \sum \sum E_{rs} du_{r} du_{s}; \quad E_{rs} = \sum \; \frac{dz_{m}}{du_{r}}\;\frac{dz_{m}}{du_{s}}, \] das Raumelement beziehungsweise durch \[ \begin{aligned} & dS_{n}= dz_{1} dz_{2} \cdots dz_{n},\\ & dS_{n-1}= Mdu_{1} du_{2} \cdots du_{n-1}.\end{aligned} \] Ein Raum \(S_{n-m}\) ist linear zusammenhängend, wenn man innerhalb seiner von jedem Punkte längs einer Linie zu jedem andern gelangen kann geschlossen, wenn er einen Raum \(S_{n-m+1}\) in zwei linear zusammenhängende Theile trennt, und zwar heisst er dann der Umfang jedes Theils. Der Raum \(R_{n}\), begrenzt von einem oder mehreren Räumen von \(n-1\) Dimensionen, hat einfach den Zusammenhang \(m^{\text{ter}}\) Gattung, wenn in ihm jeder geschlossene Raum von \(m\) Dimensionen der Umfang eines ganz in \(R_{m}\) enthaltenen Raumes von \(m+1\) Dimensionen ist, von \((p_{m} + 1)^{\text{ter}}\) Ordnung \(m^{\text{ter}}\) Gattung, wenn sich gleichzeitig \(p_{m}\) geschlossene Räume in ihm denken lassen, die keinen solchen Umfang bilden, und zwar so, dass jeder andere geschlossene Raum von \(m\) Dimensionen allein oder mit ihnen den Umfang eines linear zusammenhängenden in \(R_{n}\) ganz enthaltenen Raumes bildet. Transversalschnitt von \(R_{m}\) ist ein Raum von \(n-1\) Dimensionen, der \(R_{m}\) theilt, und dessen Umfang im Umfang von \(R_{m}\) enthalten ist. Es folgen die nöthigen Festsetzungen für die Betrachtung des stetigen Uebergangs eines begrenzten Raumes in einen andern mit Rücksicht auf die genannte Unterscheideung der Ordnung und Gattung des Zusammenhangs. Schliesslich werden 2 Sätze hergeleitet, deren erster lautet: Ist \(S_{n-1}\) die Grenze des geschlossenen Raumes \(R_{n}\), von \(V\) eine beliebige Function der Coordinaten, so ist \[ \int \left( \frac{d^{2}V}{dz_{1}^{2}} + \frac{d^{2}V}{dz_{2}^{2}} + \cdots \frac{d^{2}V}{dz_{n}^{2}}\right)\; dR_{n} + \int \frac{dV}{dp}\; dS_{n-1} = 0, \] wo \(dp\) ein zu \(S_{n-1}\) normales Linienelement bezeichnet. Zur Anwendung auf nicht einfach zusammenhangende \(R_{n}\) hat man durch Transversalschnitte den einfachen Zusammenhang herzustellen. Der zweite Satz ist eine Anwendung hiervon auf 2 Dimensionen.