Memoir on quartic surfaces. (Q1562495)

Die Arbeit soll eine Einleitung in die Theorie der Flächen \(4^{\text{ten}}\) Grades sein, welche Knotenpunkte (conische Punkte) haben. Die Flächen \(4^{\text{ten}}\) Grades besitzen entweder gar keine Knoten oder können deren bis zu 16 haben. Die Zahl der gegebenen Punkte, welche Knoten sein können, ist höchstens 7, d. h. man kann für 7 gegebene Punkte als Knoten (nicht aber im eigentlichen Sinn für 8 oder mehr) eine Fläche \(4^{\text{ten}}\) Grades finden. Die Gleichung einer solchen Fläche enthält 6 Constante, die so beschaffen sein können, dass sie noch einen oder mehrere Knoten hinzubekommt. Angenommen, sie habe noch einen \(8^{\text{ten}}\) Knoten, dann giebt es 2 verschiedene Fälle: 1) Die 8 Knoten sind die Schnittpunkte dreier Flächen zweiten Grades (sie sind ein ``Octad''): die Fläche wird dann ``octadisch'' genannt; 2) Der \(8^{\text{te}}\) Knoten ist irgend ein Punkt auf einer gewissen Fläche \(6^{\text{ten}}\) Grades, welche durch die 7 gegebenen Knoten bestimmt ist, der ``dianodalen'' Fläche dieser 7 Punkte. Die Fläche \(4^{\text{ten}}\) Grades wird dann ``Dianome'' genannt. Nimmt man an, die Fläche sei eine Dianome, so mögen die Constanten weiter so bestimmt sein, dass es noch einen \(9^{\text{ten}}\) oder \(9^{\text{ten}}\) und \(10^{\text{ten}}\) Knoten giebt. Dann ist die Fläche aber vollkommen bestimmt, d. h. geht man von 7 gegebenen Punkten als Knoten aus, so giebt es eine Dianome mit 8, 9 und 10 Knoten, aber nicht mit einer grösseren Zahl. Diese treten nur auf, wenn von den 7 Punkten besondere Bedingungen erfüllt werden. Die Betrachtung der Flächen \(4^{\text{ten}}\) Grades mit mehr als 10 Knoten bildet daher einen besonderen Theil dieser Untersuchung. Der Fall der Dekadianome oder der Fläche \(4^{\text{ten}}\) Grades mit 10 Knoten ist speciell interessant. Sie wird identificirt mit einer Oberfläche, welche ``Symmetroid'' genannt wird, d. h. sie wird durch die Gleichung \(\varDelta = 0\) dargestellt, wo \(\varDelta\) eine symmetrische Determinante \(4^{\text{ter}}\) Ordnung zwischen Ausdrücken ist, die lineare Functionen der Coordinaten \((x, y, z, w)\) sind. Die Arbeit steht in Zusammenhang mit der von Herrn Kummer: ``Ueber algebraische Strahlensysteme'' Berl. Abh. 1866, in der Oberflächen \(4^{\text{ten}}\) Grades mit 16, 15, 14, 13, 12 oder 11 Knoten betrachtet werden. Die letztere ist ein specieller Fall des Symmetroids, siehe auch JFM 03.0391.01 und JFM 03.0391.02.