On the logarithmic map and the orthogonal systems of curves to which it gives rise. (Q1562556)

Vermittelt man die conforme Abbildung zweier Ebenen durch die Gleichung \(Z= \log z\), so entspricht jedem unendlich langen Flächenstreifen der \(Z\)-Ebene, welcher parallel der reellen Axe und von der Breite \(2\pi\) ist, die ganze \(z\)-Ebene; dem Parallelen zur imaginären \((Y)\)-Axe entsprechen concentrische Kreise um den Nullpunkt, den Parallelen zur \(X\)-Axe, die durch den Nullpunkt gelegten Geraden der \(Z\)-Ebene; das Bild einer beliebigen Geraden der \(Z\)-Ebene ist eine logarithmische Spirale. Denkt man einen der oben genannten unendlich langen Flächenstreifen durch Parallelen zur \(X\)- und \(Y\)-Axe in congruente Rechtecke zerlegt, so ist das Bild dieses Netzes ein System ähnlicher und rechtwinkliger Flächenstücke, die von Radien und concentrischen Kreisen begrenzt werden; eine beliebige Gerade der \(Z\)-Ebene verbindet die Ecken der entsprechenden rechtwinkligen Flächenstücke in der \(Z\)-Ebene. Aus dieser Entstehungsart der Spirale lassen sich viele ihrer Grundeigenschaften schnell und übersichtlich ableiten, zu jeder Eigenschaft der Geraden in der \(Z\)-Ebene ergiebt sich eine analoge für die Spirale. Aus dem Satze z. B.: ``Die Curven, welche eine Schaar paralleler Geraden unter constantem Winkel schneiden, sind parallele Gerade'' folgt: ``Die Curven, welche eine Schaar gleichwinkliger logarithmischer Spiralen unter constantem Winkel schneiden, sind ebenfalls logarithmische Spiralen.'' Von praktischem Interesse erweist sich die logarithmische Abbildung, insofern sie den analytischen Zusammenhang zwischen der stereographischen und zwischen Mercators Projection giebt. Ist für erstere der Nordpol der abzubildenden Kugel Centrum, tangirt die Projectionsebene also den Südpol, so ist der Punkt \(Z\) der Mercator-Projection, welcher einem Punkte \(z\) des stereographischen Bildes entspricht, bestimmt durch die Gleichung \(Z=\log \left( \gamma + \frac{1}{z} \right)\), wo \(\gamma\) eine passend zu wählende Constante ist. Am Schluss der Arbeit befinden sich Bemerkungen über die durch doppelt periodische Functionen vermittelte Abbildung des Ellipsoids, resp. der Kugel auf das Innere eines Rechtecks; der Verfasser gelangt zu folgenden Sätzen: Bei der Abbildung des Ellipsoids auf die ganze Ebene entspricht dem System der Krümmungslinien eine Curvenschaar, welche durch stereographische Projection eines bestimmten Systems confocaler sphärischer Kegelschnitte entsteht. Bei der Abbildung der Ellipse auf das Innere oder das Aeussere eines Kreises entsprechen den confocalen Ellipsen und Hyperbeln stereographische Projectionen sphärischer Kegelschnitte; dieselben sind mit den von Siebeck (Borchardt J. LVII. u. LIX,) behandelten Curven \(4^{\text{ten}}\) Grades identisch, wenn der Mittelpunkt der Ellipse dem des Kreises entspricht.