Sur un moyen algébrique de démontrer le principe de Hamilton relatif à l'intégration des équations de la dynamique. (Q1562601)

``Diese Note bezweckt'' nach des Verfassers Worten, ``zu beweisen, dass man den Ausdruck unter der Form einer Summe von Quadraten, den Herr Liouville (Liouv. J. (2) I.) nur angegeben hat, ohne den definitiven Werth jedes Gliedes zu bestimmen, leicht erhalten und vollständig bestimmen kann, mit Hülfe einer Formel, die Jacobi für eine gewisse Transformation linearer Functionen gegeben hat, und dass die Bedingungsgleichungen, durch welche die Formel des Herrn Liouville sich auf ihr erstes Glied reducirt, einfach auf intermediäre Hamilton'sche Integrale, unabhängig von dem Principe der kleinsten Wirkung, zurückgeführt werden können. Ich zeige ferner, dass die Summe von Quadraten, die kraft dieser Integrale verschwinden müssen, vortheilhaft durch eine andere quadratische Function ersetzt werden kann, aus deren Form man unmittelbar sieht, dass die Integrale, um die es sich handelt, die nothwendigen und genügenden Bedingungen sind, um den Ausdruck des Herrn Liouville auf das erste Glied zu reduciren. Endlich gebe ich eine neue Formel, die einfacher zu dem algebraischen Beweise des Hamilton'schen Principes führt und die, wie die Formel des Herrn Liouville einen bemerkenswerthen Minimumssatz liefert.'' Dieser Satz ist der folgende: Man betrachte ein System materieller Punkte, die Verbindungen unterworfen sind, welche für die Coordinaten der Punkte solche Bedingungsgleichungen geben, dass sich die Zeit darin nicht explicite findet, und man setze voraus, dass, mit Hülfe dieser Gleichungen alle Coordinaten ausgedrückt sind als Function von \(n\) unabhängigen Variabeln \(q_{1}, q_{2} \cdots q_{n}\). Es sei ferner \(T\) die lebendige Kraft, ausgedrückt durch die quadratische Form \[ \tfrac{1}{2} \sum a_{r,s} \; q'_{r} q'_{s}, \quad \text{wo} \quad q'_{r} = \frac{dq_{r}}{dt}; \] \(a_{r, s}\) sind bekannte Functionen der Variabeln. Ist ferner \[ p_{r} = \frac{dT}{dq'_{r}}, \] so wird man die Form \[ T = \tfrac{1}{2} \sum h_{r,s} p_{r} p_{s} \] haben. Dann folgt: ``In der Bewegung, die durch Kräfte hervorgerufen, deren Potential \(U\) ist, ist die Differenz zwischen der activen Energie \((T)\) und der potentiellen Energie (der Differenz \(U_{1} - U\) zwischen dem grössten Werthe des Potentiales \(U_{1}\) und \(U\)) in jedem Augenblicke kleiner, als in jeder anderen mit der Verbindung vereinbaren Bewegung, in welcher die Geschwindigkeiten der Bedingung genügen, dass \[ \sum \varphi_{r} q_{r} \quad \left( \varphi_{r} = \frac{d\varphi}{d q_{r}} \right) \] gleich ist dem Doppelten der activen Energie der ersten Bewegung, wo die Function \(\varphi\) bestimmt ist durch die Gleichung: \[ \sum h_{r, s} \varphi_{r} \varphi_{s} = U + h.\text{''} \]