About a property of the potential of homogeneous bodies. (Q1562665)

Das Potential eines endlichen beliebig gestalteten Körpers, der von dem übrigen unendlichen Raume durch eine continuirliche Oberfläche getrennt, und mit einer Masse von der constanten Dichtigkeit 1 erfüllt ist, wird bekanntlich ausgedrückt durch das dreifache Integral \[ V = \int dx' dy' dz' \{ (x - x')^{2} + (y - y')^{2} + (z - z')^{2}\}^{-\frac{1}{2}}, \] ausgedehnt über den ganzen Körperinhalt. Die beiden Functionen \(V_{a}\) und \(V_{i}\), welche durch dieses Integral bestimmt werden, je nachdem der angezogene Punkt ausserhalb oder innerhalb liegt, haben u. a. folgende Eigenschaften: \[ 1) \quad \varDelta V_{a} = 0, \quad \varDelta V_{i} = -4\pi, \quad \text{wo}\quad \varDelta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^2}, \] 2) sind sie innerhalb des Raumes, in dem sie durch das obige Integral definirt werden, regulär, d. h., sie lassen sich in eine convergente nach Potenzen von \(x - x_{0}\), \(y - y_{0}\), \(z - z_{0}\) fortschreitende Reihe entwickeln für jeden nicht in der Oberfläche des Körpers liegenden Punkt \(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\); 3) ist auf der Oberfläche \[ V_{a} = V_{i}, \quad \frac{\partial V_{a}}{\partial x} = \frac{\partial V_{i}}{\partial x}, \quad \frac{\partial V_{a}}{\partial y} = \frac{\partial V_{i}}{\partial y}, \quad \frac{\partial V_{a}}{\partial z} = \frac{\partial V_{i}}{\partial z}. \] Nun ist aus der Functionentheorie bekannt, dass \(V_{a}\) auch durch eine jener Potenzreihen \((x - x_{0}\) etc.) vollständig definirt ist; ferner das das Functionen-Element über den ganzen Raum fortgesetzt werden kann, innerhalb dessen \(V_{a}\) durch das dreifache Integral bestimmt wird: da die Werthe, welche aus den Reihen und aus dem Integral hervorgehen, überall einander gleich sind. Es fragt sich jedoch, ob beide Darstellungen in denselben Grenzen eingeschlossen sind, oder ob es erlaubt ist, die durch das Integral gegebenen Grenzen durch die Reihenentwickelungen zu überschreiten. Einzelne Thatsachen lassen den letzteren Fall vermuthen. Denn einmal lehren die Sätze von Gauss, Green, Jvory, Dirichlet und Chasles, dass man die Anziehung des gegebenen Körpers mit der Anziehung irgend einer Oberfläche vertauschen kann, woraus man schliessen muss, dass die Vertheilung der Massen, welche ein bestimmtes Potential geben, gewissermaassen willkürlich sei. Ferner erkennt man aber auch leicht, dass in den Fällen, in denen \(V_{a}\) durch explicite Formeln ausgedrückt werden kann, \(V_{a}\) auch innerhalb des Körpers regulär sei. Dies erläutert der Verfasser zunächst an 2 Beispielen. Aus der bekannten Formel für das Potential eines Ellipsoids folgt, wie bereits Herr Mertens gezeigt hat, dass alle confocalen Ellipsoide dasselbe Potential auf einen äusseren Punkt ausüben, wenn sie nur mit gleicher Masse angefüllt sind. Hier kann aber das confocale Ellipsoid in eine focale Ellipse übergeführt werden. Das zweite Beispiel ist eine Ringfläche, welche dadurch erzeugt wird, dass der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius \(b\) die Peripherie eines Kreises mit dem Radius \(a\) durchläuft, oder durch Rotation eines Kreises mit dem Radius \(b\) um eine in seiner Ebene gelegene Gerade (die \(z\)-Axe). Die hier auftretenden drei Potentialfunctionen \(V_{1}\), \(V_{2}\), \(V_{3}\) (je nachdem \(a>b\), \(a<b\)) haben nicht nur ausserhalb des Ringkörpers den Charakter einer ganzen rationalen Function, sondern können auch in den Körper hinein fortgesetzt werden, resp. bis zu den Punkten eines ebenen dem Kreise \(a\) concentrischen Kreisringes, oder bis zu der Ebene des Kreises \(a\) und den in der \(z\)-Axe gelegenen Punkten, oder bis zu den Punkten der Rotationsaxe. Nun wird die Frage erledigt, ob nicht, jene aus dem Potential der drei homogenen Körper hervorgehenden Functionen in die Form eines Potentials gebracht werden können, das durch Massen ausgeübt wird, welche in jenen singulären Stellen vertheilt sind. Nach diesen Beispielen ist es wahrscheinlich, dass das Problem, die Vertheilung von Massen zu finden, welche ein gegebenes Potential hervorbringen, in gewisser Weise unbestimmt ist, wenn nicht besondere Bedingungen hinzugefügt werden. Nun zeigt der Verfasser, dass die Functionen \(V_{a}\) und \(V_{i}\) für jeden Punkt der Oberfläche des betrachteten Körpers fortgesetzt werden können, wenn nur die Oberfläche in der Umgebung jenes Punkts regulär ist. Zunächst muss es eine Function \(U = V_{a} - V_{i}\) geben, welche regulär ist, in jener Oberfläche zugleich mit ihren ersten Ableitungen verschwindet, und der Bedingung \(\varDelta U = 4 \pi\) genügt. Von dieser Function \(U\) lässt sich leicht der Uebergang zu den Functionen \(V_{a}\) und \(V_{i}\) machen. Die Bedingung der regulären Krümmung genügt zwar zur Fortsetzung der Functionen \(V_{a}\) und \(V_{i}\), aber es fragt sich, ob sie nothwendig ist. Diese Frage kann nur für die eine Art der Singularitäten entschieden beantwortet werden, wo in dem singulären Punkte \(x_{0}y_{0}z_{0}\) zwei oder mehrere Theile der Oberfläche zusammentreffen, deren jeder in der Umgebung des Punktes \(x_{0}y_{0}z_{0}\) eine regulären Krümmung hat, und deshalb über jenen Punkt hinaus nach seinem analytischen Gesetz fortgesetzt werden kann. In dem Falle verlieren sowohl \(U\), wie \(V_{a}\) und \(V_{i}\) den Character der ganzen rationalen Function. Zum Schlusse zeigt der Verfasser an dem bekannten Beispiele Oberfläche begrenzt ist und keine Concavität hat, dass die von ihm benutzte Hülfsfunction \(U\) oft die Betrachtung der Potentialfunction wesentlich vereinfacht.