On the curves which satisfy given conditions. (Q1562781)

Die Abhandlung sucht die Frage nach der Zahl der Curven zu lösen, welche gegebenen Bedingungen genügen. Als Vorarbeiten auf diesem Gebiete und Anknüpfungspunkte werden die Werke von Zeuthen, Chasles und de Jonquières genannt. Die gegebenen Bedingungen können nach Vorgang von Salmon gewissermassen geometrisch dargestellt werden. Enthält die Gleichung der geforderten Curven \(\omega\) Parameter, so wird jeder derselben als eine Coordinate in einem Raume von \(\omega\) Dimensionen aufgefasst. Eine jede Bedingung liefert einen Ort im Raume. Sind mehrere Bedingungen gegeben, so liefern diese Orte Durchschnitte, welche dann den Bedingungen genügen. Es muss dabei besonders untersucht werden, ob die verschiedenen Bedingungen von einander abhängig sind, ob Special-Lösungen eintreten, u. s. w. Es werden hierauf die Methoden und Resultate der Arbeiten von Chasles und Zeuthen ausführlich dargelegt. Dieselben beziehen sich hauptsächlich auf die Bedingungen, denen Kegelschnitte unterworfen werden. Hierauf knüpft Cayley an die Abhandlung von Jonquières an, welche sich auf die Berührungen einer Curve \(r^{ter}\) Ordnung mit einer gegebenen Curve bezieht. Unter der Voraussetzung ``dass diese keine Spitzen haben'', ist von Jonquières eine Formel für die Anzahl der Curven \(r^{ter}\) Ordnung von vorgeschriebener Berührung gegeben; Cayley dehnt die Resultate auch auf den Fall aus, dass die Curve Spitzen hat. In dem zweiten Memoir geht Cayley von dem Princip der Correspondenz aus. Es wurde von Chasles zuerst für gerade Linien, dann für Curven aufgestellt, die durch keinen Punkt mehrere Male hindurchgehen. Entsprechen einem Punkte eines Systems auf der Curve \(\alpha\) andere eines zweiten Systems, und einem Punkt des zweiten Systems \(\alpha'\) des ersten, d. h. haben 2 Punkte die Correspondenz \((\alpha, \alpha'),\) so giebt es \(\alpha+ \alpha'\) Punkte, die sich selbst entsprechen. Dieses Theorem wird auf Curven mit Spitzen und Doppelpunkten ausgedehnt und mit Hülfe desselben die Aufgabe der Kegelschnitte, welche mit einer gegebenen Curve 5 Berührungsbedingungen haben, behandelt.