On curves and surfaces. (German edition prepared by the author). (Q1562864)

Die vorliegende Schrift, hervorgegangen aus einer Reihe von Vorträgen über Geometrie, die im Sbornik erschienen sind, behandelt Eigenschaften der Raumcurven und der Oberflächen. Als Elemente der Raumcurven werden betrachtet: erstens das Bogenelement \(ds,\) welches die Entfernungen zweier betrachteten Curvenpunkte misst, zweitens die Krümmung \(d\sigma,\) welche den Richtungsunterschied zwischen zwei benachbarten Bogenelementen oder Tangenten angiebt, drittens die Wendung \(d\sigma'\) (oder Torsion), welche den Winkel zwischen zwei benachbarten Ebenen der Curve bestimmt, wenn man unter Ebene der Curve (Osculations-, Schmiegungsebene) diejenige versteht, welche durch zwei benachbarte Tangenten (also durch drei benachbarte Punkte) geht. Dabei ist anzunehmen, dass die Coordinaten der Curvenpunkte, nämlich \(x, y, z\) und in Folge deren auch \(\frac{ds}{dv},\;\;\frac{d\sigma}{dv}'\;\;\frac{d\sigma'}{dv}\) Functionen einer beliebigen Veränderlichen \(v\) seien. Gehen eines oder mehrere dieser Elemente durch 0, dann erhält man, wenn der Uebergang nur in einzelnen Punkten erfolgt, singuläre Punkte der Curve, wenn er aber in allen Punkten stattfindet, ebene Curven (für \(d\sigma'=0\)) und gerade Curven (für \(d\sigma=0\)). Die Beziehungen, in welchen eine Curve zu den Geraden steht, die durch sie hindurch gehen, führt zur Erörterung der Secanten, des Mantels, der Evoluten- und Evolventenflächen, des rectificirenden Mantels und der Radien der Raumcurven. Daran schliessen sich dann Untersuchungen über besondere Raumcurven (der sphärischen, schraubigen und Scheitel-Curven) und der Curven, die auf Flächen gelegen sind. Es sei gestattet, die Anwendbarkeit der Methode an der Herleitung der Sätze zu zeigen, welche die Krümmungslinien betreffen. Eine gerade Linie, welche durch einen Punkt einer Raumcurve geht, heisst eine Secante derselben. Zwei benachbarte Secanten schneiden sich oder kreuzen einander. Im ersten Falle bilden sie an ihrem Knoten (Durchschnittpunkte) einen kleinen Winkel \(d\mu,\) die Abweichung genannt. Im andern Falle muss man erst die eine auf die durch die andere gelegte Tangentialebene projiciren, dann schneidet die Projection beide Secanten und bildet mit der in der Tangentialebene liegenden Secante einen kleinen Winkel \(d\mu,\) die Abweichung, und bildet ferner mit der aus der Tangentialebene heraustretenden einen kleinen Winkel \(d\nu,\) die Ausweichung genannt. Schneiden sich die Secanten, dann ist \(d\nu=0.\) Der Knoten (betreffenden Falls der Projectionsknoten) zweier benachbarten, die Curve senk\-recht treffenden Secanten wird Centrum der Curve, und die Entfernung derselben von dem Curvenpunkte (auf der Secante gemessen) Radius der Curve genannt. In jeder Tangentialebene liegt ein Centrum; dasselbe ist stets von drei benachbarten Curvenpunkten gleich weit entfernt. Liegt die Curve auf einer Fläche und legt man durch die Tangente der Curve eine Tangentialebene zur Fläche (schlechthin Ebene der Fläche genannt) und auch eine Normalebene, so liegt in jeder ein Radius der Curve, die beziehentlich tangentialer und normaler Radius genannt werden. Die Ausweichung \(d\nu\) zweier sich kreuzenden benachbarten Radien ist ebenso gross, wie der Winkel der beiden durch diese Radien gelegten Tangentialebenen. In dem Falle nun, dass diese beiden Tangentialebenen gegen die Ebenen der Curve dieselbe Neigung \(\varphi\) haben, ist der Winkel zwischen beiden Tangentialebenen gleich dem Winkel zwischen den beiden Ebenen der Curve, d. h. die Ausweichung der Radien ist gleich der Windung, \(d\nu=d\sigma'.\) Ist aber die Neigung der einen Tangentialebene gegen ihre Ebene der Curve um \(d\varphi\) grösser als die der andern Tangentialebene gegen ihre Ebene der Curve, dann ist auch die Ausweichung der Radien um ebensoviel grösser als die Windung, d. h. \(d\nu=d\sigma'+d\varphi.\) Ist die Neigung der Tangentialebene der Fläche (Ebene der Fläche) gegen die Ebene der Curve \(\varphi,\) dann ist die Neigung der Normalebene in demselben Punkte gegen die Ebene der Curve \(\varphi-90^{0},\) folglich ist die Ausweichung zweier benachbarten tangentialen Radien gleich der Ausweichung der entsprechenden beiden benachbarten normalen Radien, nämlich in jedem Falle: \(d\nu=d\sigma'+d\varphi.\) Schneiden sich also die normalen benachbarten Radien, so müssen sich auch die tangentialen schneiden. Eine Curve, auf einer Fläche gelegen und so beschaffen, dass ihre normalen Radien sich schneiden, heisst Krümmungslienie der Fläche. Aus \(d\nu=d\sigma'+d\varphi\) ergeben sich nun unmittelbar die bereits bekannten Sätze über die Krümmungslinien. Einander unendlich nahe auf einer Fläche liegende Curven bilden ein Curvensystem, zwei Systeme sich kreuzender Curven bilden ein Curvennetz auf der Fläche. Schneiden sich aber die gegenüberliegenden Seiten der unendlich kleinen Vierecke, dann wird das Curvennetz ein conjugirtes genannt. Stehen zwei Flächen in der Abhängigkeit von einander, dass einem jeden Punkte der einen Fläche ein bestimmter Punkt der andern entspricht, dann kann entweder nur die Art und Weise, wie die Punkte einander entsprechen, bestimmt sein, oder es kann auch noch eine Abhängigkeit wird eine Beziehung, die zweite eine Verwandtschaft genannt. Analytisch wird die Beziehung, durch zwei, die Verwandtschaft durch drei oder auch durch mehr Gleichungen zwischen den unabhängigen Veränderlichen der Flächen ausgedrückt. Findet zwischen zwei Flächen eine Beziehung oder Verwandtschaft statt, dann giebt es auf jeder dieser Flächen ein bestimmtes conjugirtes Curvennetz, welches einem conjugirten Curvennetze auf der andern entspricht; dieses wird die Basis der Beziehung oder Verwandtschaft genannt. Nur in einem Falle entsprechen sämmtlichen conjugirten Curvennetzen der einen Fläche conjugirte Curvennetze der andern; dann heissen die Flächen selbst conjugirt. Die verschiedenen Beziehungen und Verwandtschaften der Flächen lassen sich auch geometrisch definiren, und aus dieser Definition lassen sich dann auch die analytischen Bedingungsgleichungen für Beziehung und Verwandtschaft aufstellen. So werden im Verlaufe der Arbeit alle analytischen Bedingungsgleichungen für die Beziehungen (Parallelismus, Perspective, Conjunction, Conjugation, graphische Beziehung) und für die Verwandtschaften der Flächen (Biegung, graphische Perspective, Abwickelung, parallele Perspective, Verwandtschaft der entsprechenden Ebene) hergeleitet. In dem vorliegenden Hefte findet dann der Parallelismus und die Perspective der Flächen eine eingehende Erörterung.