Generalization of the shortest-line problem. (Q1562895)

Die bekannte Definition der kürzesten Linie wird projektivisch dahin verallgemeinert, dass auf einer gegebenen Fläche eine Curve gezogen werden soll, deren Schmiegungsebene den Pol der Berührungsebene der Oberfläche in Bezug auf eine beliebige Fläche zweiter Ordnung in sich enthält. Die hieraus hervorgehende Differentialgleichung zweiter Ordnung wird mit der Differentialgleichung der ebenfalls projektivisch verallgemeinerten Krümmungslinien multiplicirt, und das Produkt in einer Form dargestellt, welche sofort eine einmalige Integration gestattet, wenn die gegebene Fläche ebenfalls von der zweiten Ordnung ist. Durch Einführung der verallgemeinerten elliptischen Coordinaten wird die noch zu leistende Integration direct auf hyperelliptische Integrale erster Gattung zurückgeführt. Das confokale System wird dabei ersetzt durch ein System von Flächen zweiter Ordnung, welche ein und derselben abwickelbaren Fläche eingeschrieben sind.