On the cyclid (Q1562933)

Die kürzeste Definition jener Fläche vierten Grades, welche Cyclide genannt wird, ist wohl die von Dupin gegebene, nämlich: Denkt man sich alle möglichen Kugeln, die irgend drei gegebene in einer stetigen Weise berühren, so ist die einhüllende Fläche aller dieser Kugeln eine Cyclide. Der Name Cyclide rührt davon her, dass beide Systeme von Krümmungslinien dieser Fläche Kreise sind. Der Verfasser giebt nach einigen einleitenden Worten zwei Methoden einer punktweisen Construction an, wovon die erste hier angedeutet sein möge. Eine Ellipse in der \(xy\)-Ebene habe die Gleichungen: \(x=c.\cos\alpha,\; y=\sqrt{c^2 -b^2}\sin\alpha,\; z=0,\) wo \(\alpha\) der excentrische, mit \(x\) und \(y\) variable, Winkel ist. Eine Hyperbel in der \(xy-\)Ebene habe die Gleichungen: \[ x=b \text{sec\,} B,\quad y=0,\quad z=\sqrt{c^2 -b^2} \text{tang\,} B, \] wo \(B\) von ähnlicher Bedeutung, wie \(\alpha.\) Ist nun \(P\) ein Punkt der Ellipse, \(Q\) ein Punkt der Hyperbel, so ist \[ PQ=c \text{sec\,} B-b\cos\alpha. \] Nimmt man nun auf \(PQ\) einen Punkt \(R\) an, so dass: \[ PR=r-b\cos\alpha, \] oder: \(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad QR=r-c \text{sec\,} B,\) wo \(r\) eine Constante ist, so wird, während \(\alpha\) und \(B\) variiren, \(R\) ein System von Punkten auf der Cyclide bilden. Der Verfasser geht dann im weiteren Verlauf auf die Gestalt näher ein, definirt parabolische Cycliden, bei denen die genannten Kegelschnitte Parabeln sind, betrachtet ferner die Umdrehungsflächen, in die die Cyclide übergeht für \(b=0\) und \(b=c\) (im letzteren Falle zwei sich berührende Kugeln). Durch Inversion, wobei von einem festen Punkte Strahlen zur Cyclide gezogen und die reciproken Stücke abgetragen werden, entsteht wieder eine Cyclide, deren Parameter mit denen der ersten durch folgende Relation verbunden sind: \[ \frac{r^2 -b^2}{r^2 -c^2}=\frac{r^{\prime 2} -b^{\prime 2}}{r^{\prime 2} - c^{\prime 2}}. \] Es werden ferner die conjugirten isothermalen Functionen auf der Cyclide behandelt (siehe Lamé über die isothermalen Functionen). Confocale cycliden sind diejenigen, bei welchen die Kegelschnitte dieselben bleiben, und nur \(r\) variirt. Weiterhin wird die Gleichung der Cyclide hergeleitet: \[ (x^2 +y^2 +z^2 -r^2)^2 - 2(a^2 +r^2 )(b^2 +c^2 )-2(y^2 -z^2 )(c^2 -b^2 ) \] \[ +8bcrx+(c^2 -b^2 )^2 =0. \] Zum Schluss wird noch eine mechanische Construction angegeben.