Geometry of Position (Q1562973)

In dem umfangreichen Werk, welches zwei Bände umfasst, werden in Form von Vorträgen die Elemente der Geometrie der Lage in ihrem ganzen Umfange entwickelt und die reichhaltigen Ergebnisse neuerer Forschung in organische Verbindung gebracht. Indem sich der Verfasser in gewissem Grade dem Lehrgange des Werkes von v. Staudt ,,Geometrie der Lage'' anschliesst, also die Erkenntnisse in dem Gebiete der Raumwelt wesentlich auf geometrische Anschauung gründet und alle mehr oder minder complicirten Rechnungen in seinen Entwickelungen vermeidet, unterscheidet sich die Methode, die er verfolgt, wesentlich von derjenigen, die mit algebraischen Formen wie mit räumlichen Gebilden operirend auch das Imaginäre in den Kreis der Betrachtungen zieht. Dieses findet in dem Werke keine Stelle, wodurch freilich, wie es nicht anders sein kann, ein verbindendes Band zwischen den Gebilden verloren geht und der Charakter der Allgemeinheit den Sätzen zuweilen schwindet. Mit entschiedener Strenge hat der Verfasser die metrischen Relationen vermieden, und wo sie den Gebilden characteristisch und bedeutsam sind, sind sie als Anhänge oder in besonderen Capiteln beigefügt, ohne dass die weitere Entwickelung sich darauf stützt. Nachdem in den ersten Vorträgen zunächst von den 6 Grundgebilden der neueren Geometrie (das gerade Gebilde, der Strahlenbüschel, der Ebenenbüschel,das ebene System, der Strahlenbündel, das räumliche System ) im Allgemeinen gehandelt und von ihren Beziehungen auf einander gesprochen, wird das Gesetz der Reciprocität und Dualität erörtert, und harmonische Gebilde, sowie die daraauf sich gründende Verwandtschaft zwischen einförmigen Grundgebilden (gerades Gebilde, Strahlenbüschel, Ebenenbüschel) untersucht. Daran schliessen sich in einer Reihe von Vorträgen die Erzeugnisse dieser Grundgebilde in der Ebene wie im Raum und die Erforschung ihrer Eigenschaften, die in reicher Fülle aus ihren genetischen Definitionen als unmittelbare Folge hervorgehen. Nachdem somit die Curven II. Ordnung, der Strahlen und der Ebenenbüschel II. Ordnung, die Kegelfläche II. Ordnung und die Kegelschaar betrachtet sind, wird in den folgenden Vorträgen die projectivische Verwandtschaft zwischen diesen und den drei einförmigen Grundgebilden, die der Verfasser mit v. Staudt unter dem Namen ,,Elementargebilde`` zusammenfasst, untersucht, und ihre involutorische Lage behandelt. Mit mannigfachen Aufgaben zweiten Grades, deren Behandlung sich auf die frühere Entwickelung gründet, schliesst der 14. Vortrag des ersten Bandes. Die Vorträge des zweiten Theils verbreiten sich zunächst über die collineare und reciproke Verwandtschaft der Grundgebilde zweiter Stufe (ebenes System, Strahlenbündel), denen sich im 4. Vortrag auch sogleich die Betrachtung der collinearen und reciproken räumlichen Systeme anschliesst. Nach diesen Entwickelungen allgemeineren Charakters geht der Verfasser auf die Flächen zweiten Graces über, die er als Erzeugnisse zweier reciproker Strahlenbündel oder auch zweier reciproker ebener Systeme definirt, und untersucht in einer Reihe von Vorträgen die möglichen Gestalten dieser Flächen, sowie ihre wichtigsten Eigenschaften. Durch die Beziehung affiner Gebilde zu einander werden auch Inhaltsbestimmungen von Kegelschnitten und Flächen II. Ordnung gewonnen. Nachdem in den folgenden Vorträgen wesentlich die ebenen und räumlichen Polarsysteme behandelt und kurz der Charakter eines besonderen Systems, des sogenannten Nullsystems, erwähnt ist, erfahren die Raumcurven III. Ordnung, für welche die Seidewitz'sche Erzeugung aus collinearen Strahlenbündeln gewählt ist, sehr eingehende Behandlnng. Die Sätze, welche die Herrn Chasles, Cremona, Schröter u. a. über jene Curvengattung gegeben haben, werden aus der Definition auf einfache naturgemässe Weise entwickelt. Nach Erörterung der projectivischen Beziehung dieser Gebilde und einer ausführlichen Theorie der conjugirten Punkte, welche durch eine Raumcurve III. Ordnung einander zugewiesen sind, gelangt der Verfasser zu Flächenbüscheln. Diese erfahren nähere Beleuchtung durch die geometrische Verwandtschaft zweiten Grades, auf die der Verfasser durch die Betrachtung der projectivischen Beziehung eines ebenen Systems zu dem Secantensystem der Raumcurven III.Ordnung geführt wird. Unter der geometrischen Verwandtschaft zweiten Grades ist eine Beziehung zwischen ebenen Gebilden verstanden, welche dadurch characterisirt ist, dass einem Punkte ein Punkt, einer Geraden aber ein Kegelschnitt entspricht. Nachdem der Verfasser nunmehr ineinander liegende collineare und involutorische Systeme untersucht hat, beschäftigt er sich mit dem Studium von Gebilden, welche für die folgenden Entwickelungen von besonderer Bedeutung sind; es sind das die Strahlencomplexe, worunter Herr Reye die Gesammtheit der Verbindungslinien zweier homologer Punkte und der Schnittlinien zweier homologer Ebenen in zwei collinearen räumlichen Systemen versteht. Diese Gebilde liefern ihm eine Begriffsbestimmung der Flächenbüschel II. Ordnung und deren projectivische Beziehungen, welche ohne Rücksicht auf algebraische Formen bisher schwer zugänglich waren. Im Anschluss an die Theorie der Strahlen complexe zeigt er nunmehr, dass die Normalen einer Fläche II. Ordnung, sowie die Axen aller auf der Fläche liegenden Kegelschnitte einen solchen Strahlencomplex bilden, und studirt, auf die früheren Entwickelungen gestützt, eingehend die coaxialen und homothetischen, sowie die confocalen Flächen II. Ordnung. Die letzten Vorträge behandeln endlich die Flächen III. Ordnung. Indem Herr Reye von der Erzeugung derselben durch drei collineare Strahlenbündel ausgeht, gewinnt er leicht die Abbildung derselben auf einer Ebene, und durch diese gelangt er unmittelbar zu vielen wichtigen Eigenschaften der Fläche. Ein genaueres Studium der ebenen Curven III. Ordnung führt ihn alsdann zu weiteren Eigenschaften der Fläche, besonders zu der Gruppirung der 27 Geraden, welche die Fläche enthält, und der in ihr liegenden Kegelschnitte; auf die Untersuchung des Herrn Schläfli über die Realität der 27 Geraden ist nicht eingegangen. in einem Anhange, der auch diesem Theil des Werkes beigefügt ist, werden ausser zahlreichen Constructionsaufgaben und Lehrsätzen, die sich an die Vorträge anschliessen, auch noch solche Fragen in Kürze behandelt, welche die Geometer in neuerer Zeit vielfach beschäftigt haben. Da findet sich zum Beispiel ein Kapitel über Strahlensysteme I. Ordnung und I. Classe, welche Herr Hermes kürzlich analytisch behandelt hat, eine Untersuchung über Flächenbündel und Flächengebüsche; diese führen wieder auf die Steinersche Fläche IV. Ordnung und III. Classe, über welche neuerdings die Herren Kummer, Weierstrass, Schröter, Cremona, Cayley Arbeiten publicirt haben. Die Abbildung dieser Fläche auf einer Ebene, welche kürzlich die Herren Clebsch und Cremona aus analytischen Formen hergeleitet haben, wird gleichfalls gegeben und auf diese die Theorie der Steinerschen Fläche gegründet. Endlich gelangt der Verfasser auch zu der windschiefen Fläche III. Ordnung und mehreren Flächen IV. Ordnung, welche Schaaren von Kegelschnitten enthalten, und welche von Herrn Kummer zuerst untersucht sind. Die Literatur, welche dem Verfasser bei der Entstehung des Werkes gedient und fruchtbringende Anregung bei seinen Studien gegeben hat, ist in dem Vorwort angeführt; das Werk selbst trägt durchaus das Gepräge freier selbständiger Gedankenarbeit.