Essay on the interpretation of noneuclidean geometry (Q1562979)

Das hauptsächliche Beweismittel der elementaren Geometrie ist die Möglichkeit, gleiche Figuren auf einander zu legen. Dieses Mittel ist aber nicht allein für die Ebene anwendbar, sondern überhaupt für die alle Flächen, auf denen gleiche Figuren in verschiedenen Lagen sein können, d. h. von welchen irgend ein Theil mittels einfacher Biegung genau auf irgend einen andern Theil derselben Fläche gelegt werden kann. Nach einem berühmten Gauss'schen Satze haben diese Eigenschaft unbedingt alle jene Flächen, bei denen in jedem Punkte das Produkt der beiden Hauptkrümmungsradien constant ist. Es lassen sich daher viele Sätze der elementaren Planimetrie auf solche Flächen übertragen. Was nun die Flächen mit constanter positiver Krümmung anbetrifft, so erleidet das Postulat der geodätischen Linie (Analogon der Geraden), durch zwei Punkte unzweideutig bestimmt zu sein, Ausnahmen; (wenn z. B. die beiden Punkte Endpunkte eines Kugeldurchmessers sind). Der Verfasser sucht nun zuzeigen, dass solche Ausnahmen auf Flächen von constanter negativer Krümmung, die er pseudosphärische nennt, nicht existiren. Die Geometrie dieser Flächen heisst ,,nicht-Euclidische'', da sie von der Euclidischen in wesentlichen Punkten abweicht. So z. B. ist die Summe der Winkel eines geodätischen Dreiecks stets kleiner als zwei Rechte.