On the theory of fluid flow. (Q1563133)

Leslie hat beobachtet, dass ein Gemisch von atmosphärischer Luft und Wasserstoffgas einen Ton ungemein dämpft. Diese Beobachtung erklärt Herr Stokes dadurch, dass, je schneller die Fortpflanzung der Verdichtungen und Verdünnungen in einem Gase erfolgt, das Gas sich um so schneller dem Zustand einer incompressiblen Flüssigkeit nähere, und dass dadurch die Verrückungen an der Oberfläche des in dem Gase schwingenden Körpers mehr und mehr local würden. Diese Erklärung sucht Herr St. dann durch Rechnung zu begründen. Er betrachtet eine Kugel, die in der Art einer Glocke mit kleinen Amplituden innerhalb eines Gases schwingt. Für diesen Fall existirt für die Bewegung der Gastheilchen ein Geschwindigkeitspotential, das bekanntlich der Gleichung genügt: \[ \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=a^{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}\right). \] Diese Gleichung wird nun auf Polarcoordinaten transformirt, und unter der Bedingung, dass sich die ganze Kugelfläche periodisch bewegt, genügt derselben das folgende Integral \[ r \varphi=e^{im(at-r)} \varSigma U_{n} f_{n} (r)+e^{im(at+r)} \varSigma U'_{n}F_{n}(r), \] wo \(U_{n}\) und \(U'_{n}\) Kugelfunctionen der \(n^{ten}\) Ordnung, \(f_{n}\) und \(F_{n}\) Functionen von \(r\) sind, die sich nach fallenden Potenzen von \(r\) entwickeln lassen und die in gehöriger Entfernung von der Kugel \(=1\) werden. Hieraus wird nun unter einer bestimmten Annahme über \(m\) (das von der Wellenläge des Tons abhängt) die Geschwindigkeit in der Richtung \(r\) und daraus die Intensität des Tones in zwei verschiedenen Entfernungen von der Kugel berechnet. Es ergiebt sich, dass unter gewissen einfachen Annahmen die Intensität des Tones proportional \(D^{\frac{5}{2}}\) ist (unter \(D\) die Dichtigkeit bei demselben Druck verstanden). Da nun für Wasserstoff \(D=0,07\) ungefähr (\(D=1\) für Luft), so ist damit die Dämpfung des Tones erklärt. Die hauptsächlichste Annahme, die zu diesem einfachen Resultate führt, ist die, dass sich die Schwingung der Kugel durch eine Kugelfunction zweiter Ordnung ausdrücken lässt; ferner muss der Radius der Kugel hinlänglich klein sein. Dann wird dasselbe Problem für einen schwingenden Cylinder von sehr grosser Länge (z. B. eine schwingende Seite) gelöst unter der Annahme, dass die Bewegung nur von zwei Dimensionen abhängt. In diesem Falle finden verschiedene gleichzeitige Vibrationen von verschiedener Vibrationsdauer statt.