On discontinuous fluid motions. (Q1563134)

In dieser Arbeit wird zum ersten Male die Gestalt eines \textit{freien} Flüssigkeitsstrahles für einen speciellen Fall theoretisch bestimmt. Die zu Grunde gelegten Voraussetzungen sind, dass die Flüssigkeit incompressibel ist, dass keine äusseren Kräfte auf sie wirken, dass ein Geschwindigkeitspotential existirt, dass die Strömungen stationäre sind, und die Bewegung überall nur von zwei rechtwinkligen Coordinaten abhängt, also einer festen Ebene parallel ist. Für diesen Fall sind die hydrodynamischen Gleichungen bekanntlich \[ \frac{p}{ \varrho}=C-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}\right], \] \[ \frac{\partial ^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} \varphi}{\partial y^{2}}=0, \] worin \(\varphi\) das Geschwindigkeitspotential bezeichnet, \(p\) den Druck, \(\varrho\) die Dichtigkeit, \(C\) eine Constante. Soll nun die strömende Flüssigkeit eine freie Grenze haben, so muss 1) die senkrecht zu dieser Grenze stehende Geschwindigkeitscomponente auf beiden Seiten der Grenze denselben Werth haben, es muss daher jene Grenze selbst senkrecht stehen zu den Linien \(\varphi=\)Const.; 2) muss der Druck zu beiden Seiten der Grenze ein constanter sein. Diese physikalischen Bedingungen werden nun auf folgende Weise in die Rechnung eingeführt: Die Differentialgleichung \[ \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{ \partial y^{2}}=0 \] kann man ersetzen durch das System: \[ \begin{cases} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y},\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.\end{cases} \tag{1.} \] Dann sind die Linien \(\psi=\)Const. senkrecht zu den Linien \(\varphi=\)Const. Kann man nun ein Integral des Systems so bestimmen, dass für \(\psi=\)Const. der Durck \(p\) constant wird, so hat man eine Linie gefunden, welche den Bedingungen einer freien Grenze entspricht. Die allgemeine Lösung der obigen Differentialgleichungen ist nun bekanntlich \[ \varphi+ i \psi=F(x=iy), \] wo \(F\) eine willkürliche Function , \(i= \sqrt{-1}\) ist. Es muss daher auch \[ x+iy= F_{1}( \varphi +i \psi) \] sein, und es ist nun die willkürliche Function \(F_{1}\) so zu bestimmen, dass für einen gewissen constanten Werth von \(\psi\) auch \(p\) constant wird, oder bei gehöriger Bestimmung der letzten Constanten \[ \left(\frac{\partial \varphi}{ \partial x}\right)^{2}+ \left(\frac{\partial \varphi}{ \partial y}\right)^{2}=\frac{\mathbf{1}}{\bigl(\frac{\partial x}{\partial \varphi}\bigr)^{2}+\bigl(\frac{\partial y}{ \partial \varphi}\bigr)^{2}}=\mathbf{1}.\tag{2} \] Herr Helmholtz stellt nun eine der möglichen Formen der Function \(F_{1}\) auf, und zwar \[ (3) \qquad x+iy= \] \[ A\{\varphi +i \psi+e^{\varphi +i \psi}\}+Ai\left\{\sqrt{-2e^{\varphi +i \psi}-e^{2 \varphi +2i \psi}}+2\arcsin \left[\frac{i}{\surd 2}e^{\frac{1}{2}(\varphi +i \psi)}\right]\right\}. \] Da \(x\) dem reellen, \(y\) dem imaginären Theile der rechten Seite gleich sein muss, so sind damit \(x\) und \(y\) als Functionen von \(\varphi\) und \(\psi\) bestimmt. Durch Discussion der so erhaltenen Ausdrücke werden dann die physikalischen Bedingungen gefunden, denen die Lösung entspricht, sowie die Gestalt der freien Grenze selbst. Die Gleichung (3) entspricht der Ausströmung aus einem unbegrenzten Becken in einen durch zwei Ebenen begrenzten Canal, dessen Breite \(4A \pi\) ist, dessen Wände von \(x=-\infty\) bis \(x=-A(2- \log 2)\) reichen. Die hier aufgestellte Methode ist von Herrn Kirchhoff in Borchardt's Journal Bd. 70 in Bezug auf die Bestimmung der Function \(F_{1}\) erweitert (siehe den nächsten Jahresbericht); doch bleibt auch dabei die Einschränkung nöthig, dass alle Bewegung einer festen Ebene parallel ist.