Ueber die Anwendung der Jacobi-Hamilton'schen Methode auf den Fall der Anziehung nach dem electrodynamischen Gesetze von Weber. (Q1563605)

Bei den mechanischen Problemen, in welchen die Kräftefunction \(U\) ausser den Coordinaten und der Zeit noch die Geschwindigkeiten enthält, lassen sich aus der Gleichung, die das Princip der kleinsten Wirkung liefert: \[ \delta \int_{t_0}^{t_1} (T+U)dt=0, \] wo \(T\) die halbe lebendige Kraft bezeichnet, im Allgemeinen nicht die Gleichungen der Bewegung ableiten. In diesen Fällen handelt es sich darum, für \(U\) eine andere Function aufzufinden, die, in obige Gleichung substituirt, für die Ableitung der Bewegungsgleichungen das erwähnte Princip ersetzen kann. Hierher gehört das Problem der Anziehung nach dem elektrodynamischen Gesetz von Weber, welches den Gegenstand der vorliegenden Untersuchung bildet. Der Verfasser beschränkt sich auf den Fall eines freien von einem festen Centrum angezogenen Punktes. Der Ausdruck der Kraft ist hier: \[ R=-\frac{m}{r^2} \left( 1-\frac{1}{c^2}r^{\prime 2}+ \frac{2r}{c^2}r'' \right) \] und somit die Kräftefunction \[ U_1= \frac{m}{r} \left( 1- \frac{r^{\prime 2}}{c^2} \right) \] (wobei allerdings \(r'\) als Function von \(r\) zu betrachten ist). Führt man nun nach Neumann (Princip der Elektrodynamik) statt \(U_1\) die Function \[ U=\frac{m}{r} \left( 1+ \frac{r^{\prime 2}}{c^2} \right) \] ein, so hat die Gleichung: \[ \delta \int(T+U)dt=0 \] die Differentialgleichungen der Bewegung zur Folge, welche in Polarcoordinaten ausgedrückt, folgende Gestalt haben: \[ \frac{\partial (T+U)}{\partial r}- \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial (T+U)}{\partial r'} \right)=0,\; \frac{\partial (T+U)}{\partial \vartheta}- \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial (T+U)}{\partial \vartheta'} \right)=0. \] Um nun darauf die Hamilton'sche Methode anzuwenden, werden zwei neue Variablen: \[ p_1=\frac{\partial (T+U)}{\partial r'}, \quad p_2= \frac{\partial (T+U)}{\partial \vartheta'} \] eingeführt, und die Differentialgleichungen nehmen folgende Form an, welche freilich nicht die canonische ist: \[ \frac{\partial [T+U]}{\partial r}=-\frac{dp_1}{dt}-\frac{2m}{r^2}, \quad \frac{\partial [T+U]}{\partial p_1}= \frac{dr}{dt}, \] \[ \frac{\partial [T+U]}{\partial \vartheta}=-\frac{dp_2}{dt}=0, \quad \frac{\partial [T+U]}{\partial p_2}=\frac{d \vartheta}{dt}. \] Die eckigen Klammern deuten an, dass in \(T+U\) die Differentialquotienten durch Einführung von \(p_1\) und \(p_2\) entfernt sind. Die Variation nun von \[ V=\int_{t_0}^{t_1}(T+U)dt \] ergiebt leicht: \[ \frac{\partial V}{\partial r}=p_1, \quad \frac{\partial V}{\partial \vartheta}=p_2, \] und die Ableitung nach \(t\) giebt die Gleichng: \[ \frac{\partial V}{\partial t}=[T+U] - \frac{2m}{r}, \] welche, wenn in [\(T+U\)] \(p_1\) und \(p_2\) resp. durch \(\frac{\partial V}{\partial r}\) und \(\frac{\partial V}{\partial \vartheta}\) ersetzt werden, in eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung für \(V\) mit den drei Independenten \(r, \vartheta, t\) übergeht. -- Wir bemerken hierzu, dass durch Einführung von \[ p_1= \frac{\partial (T-U_1)}{\partial r}, \quad p_2= \frac{\partial (T-U_1)}{\partial \vartheta} \] sowohl die partielle Differentialgleichung für \(V\) als auch die obigen Differentialgleichungen genau die Hamilton'sche Form, wie sie für das gewöhnliche Anziehungsproblem gilt, angenommen haben würden. Der Unterschied zeigt sich demnach allein darin, dass die vollständige Lösung für \(V\) statt, wie im gewöhnlichen Falle durch \(\int_{t_0}^{t}(T+U_1)dt\), durch \(\int(T+U)dt\) gegeben wird. -- Nachdem die partialle Differentialgleichung für \(V\) vollständig integrirt ist, ergeben in be\-kann\-ter Weise \[ \frac{\partial V}{\partial \alpha_1}=\beta_1, \quad \frac{\partial V}{\partial \alpha_2}=\beta_2 \] die Integralgleichungen des Problems, und zwar werden schliesslich sowohl die Zeit \(t\) als der Winkel \(\vartheta\) in der Form elliptischer Integrale als Functionen von \(r\) dargestellt. Eine Diskussion derselben ergiebt zunächst die Gültigkeit des Princips der lebendigen Kraft, sowie des Flächenprincips, wie vorauszusehen war. Die möglichen Lagen des angezogenen Punktes sind auf einen Ring zwischen zwei concentrischen Kreisen beschränkt, indem sich für \(r\) ein Minimal- und Maximalwerth \(r_1\) und \(r_2\) ergiebt. Die Bahnen des Punktes zwischen den beiden Abständen (Perihelium und Aphelium) folgen so aufeinander, dass je zwei benachbarte Arme symmetrisch zu einander in Bezug auf eine durch das Centrum gehende Axe liegen. Dasselbe Problem wird zum Schluss noch kurz für drei Coordinaten durchgeführt. Anhangsweise wird noch ein einfacherer Weg zur Herstellung der partiellen Differentialgleichung angegeben, der durch den Umstand ermöglich wird, dass \(t\) nicht explicite vorkommt, und ausserden das Princip der lebendigen Kraft gilt.