Theory of Free Fluid Streams. (Q1563662)

Im vorigen Jahrgange dieser Zeitschrift (p. 341, JFM 01.0341.03) ist über eine Arbeit von Helmholtz berichtet, die eine Methode angiebt, die Gestalt eines freien Flüssigkeitsstrahles zu bestimmen, falls alle Bewegung einer festen Ebene parallel ist. Herr K. giebt folgende Methode, die von Helmholtz aufgestellten Bedingungen zu erfüllen. Ist \(\varphi\) das Geschwindigkeitspotential, ist \(\psi=\) Const. die zu \(\varphi=\) Const. orthogonale Curvenschaar, und ist: \[ x+iy=z., \; \varphi+i\psi=\omega, \] so setze man \[ \frac{dz}{d\omega}=f(\omega)+\sqrt{f(\omega)f(\omega)-1} \] und wähle die Function \(f(\omega)\) so, dass sie für einen gewissen constanten Werth von \(\psi\) und für ein gewisses Intervall von \(\varphi\) reell ist, und zwischen -1 und +1 liegt, so ist für diesen Werth von \(\psi\) und dieses Intervall von \(\varphi\) \[ \frac{\partial x}{\partial \varphi}=f(\omega), \; \left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right) ^2+ \left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2=1; \] innerhalb des obigen Intervalls von \(\varphi\) kann die dem obigen Werthe von \(\psi\) entsprechende Strömungslinie dann eine freie Grenze der Flüssigkeit sein. Herr K. erläurtert ferner, wie das Giebt von \(\omega\), resp. \(z\) zu begrenzen ist, damit \(\omega\) eine eindeutige Funktion von \(z\) ist, die sich vollkommen bestimmen lässt. Für folgende Fälle: \[ \begin{aligned} & f(\omega)=k-e^{-\omega} \quad (k \text{ ein positiver echter Bruch})\\ & f(\omega)=k+\frac 1 {\sqrt{\omega}}\\ & f(\omega)=\frac {k} {\sqrt{1-e^{-\omega}}}\end{aligned} \] leitet Herr K. die Gestalt der freien Flüssigkeitsstrahlen ab; der erste von diesen Fällen bildet eine Verallgemeinerung des von Helmholtz behandelten Falles.