Note sur l'attraction exercée par une couche matérielle très-mince sur un point de sa surface. (Q1563696)

Laplace hat den Satz aufgestellt: ``Die Resultante der Anziehung der Punkte einer sehr dünnen Schicht auf einen Punkt der Oberfläche -- die Anziehung erfolgt umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung -- liegt in der in dem Punkte errichten Normale und ist gleich dem Product der Dichtigkeit in dem Punkte in den Umfang des Kreises, dessen Radius gleich der Dicke der Schicht ist, vorausgesetzt, dass nur die Punkte berücksichtigt werden, die sich von dem angezogenen Punkte erreichen lassen, ohne eine der Begrenzungsflächen zu treffen. '' Diesen Satz hat Chasles benutzt, im die Anziehung einer dünnen Schicht zwischen zwei ähnlichen Ellipsoiden zu bestimmen. Hr. Résal hat bei Gelegenheit der Reproduction der Chasles'schen Ableitung in seinem ``Traité élém. de Méc. céleste. Paris 1865.'' bemerkt, dass die meisten Beweise desselben ungenau seien, indem sie auf der Vernachlässigung einer unendlich kleinen Grösse von derselben Ordnung, wie die Dicke der Schicht, beruhten und hatte einen Beweis gegeben, der diesen Uebelstand vermeidet, aber sehr lang ist. Der Verfasser giebt nun hier einen kürzeren Beweis (der von Hrn. Résal ist Ref. leider unbekannt geblieben, da ihm das Werk nicht zugänglich war, indem er zwei Fälle unterscheidet: 1) den Fall, wo alle Schnitte der Oberfläche, die den angezogenen Punkt enthält, mit Normalebenen convexe Curven nach Aussen sind, und 2) wo alle diese Schnitte concave Curven sind.