On a method to express cometary perturbations by means of fast converging terms. (Q1563878)

Vorliegende Arbeit enthält eine Anwendung der elliptischen Functionen auf die Entwickelung der Ausdrücke, welche Hansen in seinem ``Mémoire sur le calcul des perturbations qu'éprouvent les comètes'' gegeben hat. Hansen drückt nämlich daselbst die gegenseitige Entfernung \(\Delta\) des störenden und des gestörten Körpers durch die mittlere Anomalie \(c'\) des ersteren und durch eine besondere Variable, die partielle Anomalie, aus, welche in verschiedenen, willkürlich zu wählenden Abschnitten der Kometenbahn in verschiedener Weise von dem Orte des Kometen abhängt. Dadurch wird in dem Ausdrucke für \(\Delta^2\) in Bezug auf den Kometen eine beliebig starke Convergenz erzielt, während der von dem Kometen unabhängige Theil sich auf die Form \[ [1+f\cos (c'+F)](1+G) \] bringen lässt,wo \(G\) eine kleine Grösse bedeutet. Die Hauptschwierigkeit besteht nun in der Entwickelung der negativen Potenzen des ersten Factors, weil bei grosser Annäherung der beiden Körper \(f\) sehr nahe gleich 1 wird. Herr \(G\) erzielt nun auch hier convergentere Ausdrücke durch die Substitution \[ k^2=\frac{2f}{1+f},\quad \frac{1}{2}(c'+F)=\text{am }\frac{2k\chi}{\pi},\text{ mod.}k. \] Ebenso lässt sich die Convergenz in Bezug auf den Kometen noch steigern, wenn man für die partielle Anomalie desselben eine \(\text{am }\frac{2kw}{\pi}\) einführt. In diesem Falle lässt sich, wenn die Excentricität des störenden Planeten sehr klein ist, der Ort desselben durch rasch convergirende Reihen darstellen, welche von eben jenem \(w\) und von einem Winkel abhängen, der während desselben Umlaufs des Kometen constant bleibt, dagegen für verschiedene Umläufe verschiedene Werthe annimmt.