Proof that each covariant and each invariant of a binary form is an entire functon, with numerical coefficients, of finitely many such forms. (Q1564045)

Gordan löst in diesem Aufsatze die von Cayley aufgeworfene eben erwähnte Frage (JFM 01.0059.03). Die gegebene Form \(f\) sei symbolisch durch \[ (a_{1}x_{1} +a_{2}x_{2})^{n} =a_{\chi}^{n} \] bezeichnet. Bildet man nach dem bekannten Verfahren, welches dazu dient, aus zwei bekannten Covarianten von \(f,\) etwa \(\varphi\) und \(\psi,\) welche symbolisch durch \(\varphi_{\chi}^{\mu}\) und \(\psi_{\chi}^{\nu}\) bezeichnet sein, die einfachsten neuen Covarianten und Invarianten zu finden, die Formen \[ (\varphi\psi)^{0} =\varphi.\psi, \] \[ (\varphi\psi)^{1}=\varphi_{\chi}^{\mu -1}\psi_{\chi}^{\nu -1}(\varphi\psi), \] \[ (\varphi\psi)^{2}=\varphi_{\chi}^{\mu -2}\psi_{\chi}^{\nu -2}(\varphi\psi)^{2}\;\;etc. \] so sagen wir, sie seien durch die \(0^{te},\;1^{te},\;2^{te}\;\ldots\) Uebereinanderschiebung von \(\varphi\) und \(\psi\) entstanden. Es wird dann bewiesen, dass alle Formen von \(f\) lineare Functionen mit numerischen Coefficienten von Formen sind, die mittelst wiederholter Uebereinanderschiebung aus \(f\) entstehen. Nun werden die durch Uebereinanderschiebung entstehenden Formen in dieser Reihenfolge gebildet: \((ff)^{0} =k_{21},\;(ff)^{1} =k_{22},\;(ff)^{2} =k_{23}\;\ldots\) ferner \[ (k_{21}f)^{0},\;(k_{22}f)^{0}\;\ldots ,\;(k_{21}f)^{1},\;(k_{22}f)^{1}\;\ldots, \] \[ (k_{21}f)^{2},\;(k_{22}f)^{2}\;\ldots ,\;(k_{21}f)^{3},\;(k_{22}f)^{3}\;\ldots , \] welche mit \(k_{31},\;k_{32}\;\ldots\) bezeichnet werden, u. s. w. für Formen \(4^{ter},\;5^{ter},\;\ldots\) Ordnung. Die in dieser Anordnung vor \(k_{ik}\) stehenden Formen heissen frühere. Wir lassen alle diejenigen aus, welche lineare Combinationen mit numerischen Coefficienten früherer Formen \(k\) sind. Die übrig bleibenden bezeichnen wir durch \(T.\) Unter den \(T\) besteht dann keine lineare Relation und jede Covariante und Invariante von \(f\) kann (aber nur auf eine Weise) in die Form gebracht werden \[ J =c_{1}T_{1} +c_{2}T_{2} +\cdots . \] Wird nun eine Form \(W\) definirt durch \[ W =b_{\chi}^{r}c_{\chi}^{a_{1}}d_{\chi}^{a_{2}}\ldots (bc)\;(bd)\;(cd)\ldots, \] wenn \((bc) =b_{1}c_{2} -b_{2}c_{1}\) ist, und setzt man \[ W =c_{1}T_{1} +c_{2}T_{2} +\cdots , \] so ist die Form \((T_{1}f)^{k},\) wenn überhaupt eine Form \(T,\) dann eine lineare Function von früheren Formen \(T\) und Formen \(W.\) Es wird darauf ein vollständig bestimmtes endliches System von Covarianten und Invarianten der Form \(f\) aufgestellt, durch welches sich alle zu \(f\) gehörigen Formen \(T\) ausdrücken lassen. Die Anzahl der Formen des erhaltenen Systems wird als eine endliche nachgeweisen, und endlich gezeigt, dass jede Covariante und Invariante von \(f\) eine ganze Function der Formen des endlichen Systems mit numerischen Coefficienten sei. Dieses für den allgemeinen Fall aufgestellte System ist nicht das kleinste denkbare, so das noch viele Formen des Systems als ganze Functionen anderer darstellbar sind. Der Verfasser giebt nun für Formen fünften und sechsten Grades nach Ausführung der eben erwähnten Reduction ein möglichst kleines System von Grundformen.