On extending finite series by arbitrary parameters. (Q1564087)

Der Verfasser nimmt aus der von Abel für ganze \(n\) bewiesenen Gleichung (Crelle J. I. 159) \[ (x+\alpha)^n=x^n+\sum^{\mu=n}_{\mu=1}{n\choose \mu}\alpha(\alpha-\mu\beta)^{\mu-1}(x+\mu\beta)^{n-\mu} \] Veranlassung, um auf inductorischem Wege für die Coefficienten der allgemeineren Identität \[ A_0 x^n+A_1 x^{n-1} + A_2x^{n-2}+\cdots \] \[ =B_0 x^n+B_1(x+\alpha)^{n-1}+B_2 (x+2\alpha)^{n-2}+\cdots \] eine Berechnungsformel zu erhalten. Die letztere lautet: \[ pB_p=\sum^{\mu=p-1}_{\mu=0} (-1)^\mu(p-\mu)(p\alpha)^\mu {n-p+\mu\choose \mu} A_{p-\mu}. \] Dann führt er noch für einen zweiten Parameter die Rechnung aus, wendet seine Formel auf die hypergeometrische Reihe \(F(-n,\beta,\gamma,x)\) und ihren besondern Fall \(F(-n,\beta, \beta,x)=(1-x)^n\) an und zeigt, dass die Abel'sche Formel in der seinigen enthalten ist.