On a property of the Eulerian integrals of the first and second kinds. (Q1564140)

Die Abhandlung betrifft eine Erweiterung der aus der Theorie der Euler'schen Integrale bekannten Formel: \[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{ra-1}dx}{(x^{r}+x_{0}^{r})^{a+b}}=\frac{\varGamma(a)\varGamma(b)}{r\varGamma(a+b)x_{0}^{rb}}=\frac{B(a,b)}{rx_{0}^{rb}}. \] Der Verfasser ersetzt den ersten Ausdruck links durch den allgemeineren \[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k-1}dx}{x^{rn}+ax^{rn-1}+bx^{rn-2}+\cdots px^{r}+s}=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2k-1}dx}{[x^{rn}]}. \] Er gelangt zur Entwicklung dieses Ausdrucks mittels recurrenter Formeln, in welchen die Coefficienten der Gleichung \[ x^{n}-\alpha x^{n-1}+\beta x^{n-2}-\gamma x^{n-3}+\cdots\mp\pi x\pm\sigma =0 \] vorkommen, die so bestimmt sind, dass die Gleichung \[ x^{rn}-ax^{r(n-1)}+bx^{r(n-2)}-cx^{r(n-3)}+\cdots\mp px^{r}\pm s. \] die \(r^{\text{ten}}\) Potenzen der Wurzeln der ersten Gleichung enthält. Bei dieser Entwicklung ergiebt sich dann eine Reihe von Formeln, welche die Functionen \(\varGamma\) und \(B\) selbst betreffen.