A theorem on first-order differential equations. (Q1564148)

Die Note betrifft eine Erweiterung der Jacobi'schen Methode zur Integration der Differentialgleichung: \[ L(xdy-ydx)-Mdy+Ndx=0, \] die sich in folgendem Satz zusammenfassen lässt. Ist die linke Seite der Differentialgleichung: \[ \sum(\pm dx_{1},\;x_{2};\;\varphi_{3}^{(3)}\varphi_{4}^{(4)}\cdots\varphi_{n}^{(n)})=0, \] die aus \(n\) Variabeln \(x_{1},x_{2}\ldots x_{n},\) ihren Differentialen \(dx_{1},dx_{2}\ldots dx_{n}\) und \(n(n-2)\) linearen Funktionen von \(x_{1},x_{2}\ldots x_{n}\) gebildete Determinante, und bildet man die linearen Ausdrücke: \[ u_{p}=a_{p_{1}}x_{1}+a_{p_{2}}x_{2}+\cdots +a_{p_{n}}x_{n}, \] \[ x_{p}=\alpha_{p_{1}}u_{1}+\alpha_{p_{2}}u_{2}+\cdots +\alpha_{p_{n}}u_{n}, \] so lassen sich die Coefficienten \(a\) und \(\alpha\) immer so bestimmen, dass das Integral der gegebenen Gleichung die Form \[ u_{1}^{\pi_{1}}\;u_{2}^{\pi_{2}}\ldots u_{n}^{\pi_{n}}=\text{const.} \] annimmt.