On the criterion for the maximum and minimum. (Q1564158)

Die Abhandlung reproducirt im Wesentlichen eine frühere Schrift des Verfasser ``Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale, Leipzig 1866'' und knüpft an eine Arbeit von Clebsch (Borchardt J. 55) und Lipschitz (Borchardt J. 65) an, in welcher letzteren eine kurze Uebersicht der hierhergehörigen Literatur zu finden ist. Die allgemeinste Aufgabe der Variationsrechnung im Falle einer unabhängigen Variabeln kann also formulirt werden: Man soll die den \(m\) simultanen Differentialgleichungen erster Ordnung (I.) \(\varphi_{1}=0,\ldots\varphi_{m}=0\) unterworfenen \(n\) Variabeln \(y_{1},\;y_{2},\ldots y_{n}\) als Functionen von \(x\) so bestimmen, dass das Integral \[ V= \int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x,y_{1}y_{1}' \ldots y_{n}y_{n}')dx \] ein Maximum oder Minimum werde. Nach Lagrange wird dieses Problem durch folgendes ersetzt: Die Functionen \(y_{h}\) sind so zu bestimmen, dass Integral \(J=\int_{x_{0}}^{x_{1}}\Omega dx\) ein Minimum oder Maximum wird, wenn \[ \Omega =f+\lambda_{1}\varphi_{1}+\cdots +\lambda_{m}\varphi_{m}\tag{II.} \] gesetzt ist, während die vorläufig unbestimmten Functionen \(\lambda_{k}\) von \(x\) so gewählt werden, dass die \(y_{h}\) den Bedinungsgleichungen (I.) Genüge leisten. Ersetzt man in \(J\;y_{h}\) durch \(y_{h}+\xi{\mathfrak z}_{h}\), wo \(\varepsilon\) eine sehr kleine Constante, \({\mathfrak z}_{h}\) Functionen von \(x\) andeutet, welche in Folge der Gleichungen (I.) die folgenden \(m\) Bedingungen zu erfüllen haben: \[ \delta\varphi_{k}=\sum_{1}^{n}h\left(\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial y_{h}}{\mathfrak z}_{h}+\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial y'_{h}}{\mathfrak z} _{h}\right)=0,\tag{III.} \] so erhält man, unter Vernachlässigung der \(3^{\text{ten}}\) und höheren Potenzen: \[ J+\varepsilon.\delta J+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\delta^{2}J. \] Für den Fall des Maximum oder Minimum müssen ersten die \(y_{h}\;\delta J=0\) machen, zweitens muss für die so gewählten \(y_{h}\;\delta^{2}J\) von Null verschieden und zwar entweder positiv oder negativ bleiben, welcher Art die \(n\) Functionen \({\mathfrak z}_{h}\), die den Gleichungen (III.) genügen, sonst auch sein mögen. Die Bedingung \(\delta J=0\) und die Gleichung (I.) liefern die zur Bestimmung der Functionen \(y_{h}\) und \(\lambda_{k}\) nothwendigen \(n+m\) Gleichungen: \[ \frac{\partial\Omega}{\partial y_{h}} = \frac{d}{dx}\;\frac{\partial\Omega}{\partial y_{h}}\;(n \text{Gl.}),\quad \varphi_{k}=0\;(m \text{Gl.}).\tag{IV.} \] Damit die Reihe der \(y\) an den Grenzen \(x_{0}\) und \(x_{1}\) vorgeschriebene Werthe annehmen kann, muss System (IV.) \(2n\) willkürliche Constanten liefern, d. h. von der Ordnung \(2n\) sein; dazu ist nothwendig und hinreichend, dass: \[ R=\left|\begin{matrix} \frac{\partial^2\Omega}{\partial y_1' \partial y_1'}, & \cdots\;, & \frac{\partial^2\Omega}{\partial y_n' \partial y_1'}, & \frac{\partial\varphi}{\partial y_1'},&\cdots\;, & \frac{\partial \varphi_m}{\partial y_1'}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ \frac{\partial^2\Omega}{\partial y_1' \partial y_n'}, & \cdots\;, & \frac{\partial^2\Omega}{\partial y_n' \partial y_n'}, & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_n'}, & \cdots\;, & \frac{\partial \varphi_m}{\partial y_n'}\\ \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_1'}, & \cdots\;, & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_n'}, & 0, & \cdots\;, & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ \frac{\partial \varphi_m}{\partial y_1'}, & \cdots\;, & \frac{\partial \varphi_m}{\partial y_n'}, & 0, & \cdots\;, & 0\end{matrix}\right| \tag{V.} \] nicht identisch Null sei. Drückt man nun aus den \((n+m)\) Gleichungen \(\frac{\partial\Omega}{\partial y'h}=v_{h}\) und \(\varphi_{k}=0\) die \(n+m\) Grössen \(y'\) und \(\lambda\) als Functionen von \(y\) und \(v\) aus, so tritt an Stelle des Systems (IV.), das System von \(2n\) Gleichungen: \[ \frac{dy_{h}}{dx}=\frac{\partial H}{\partial v_{h}},\quad \frac{dv_{h}}{dx}=-\frac{\partial H}{\partial y_{h}},\tag{VI.} \] in welchen \(H\) die Form ist, welche der Ausdruck \({\sum_{1}^{n}}_h y_{h}'v_{h}-f\) annimmt, wenn für die \(y'_{h}\) die äquivalenten Functionen von \(y\) und \(v\) gesetzt werden. Man nimmt nun an, die Differentialgleichungen (IV.) sind integrirt und bezeichnet die allgemeinen Lösungen durch folgende Gleichungen: \(y_{h}=[y_{h}]\); \(\lambda_{k}=[\lambda_{k}]\); dann sind die Lösungen der Gleichung (VI.) \[ y=[y_{h}];\quad v_{h}=\left[\frac{\partial\Omega}{\partial y'_{h}}\right]=[v_{h}].\tag{VIII.} \] Unter den Symbolen \([y_{h}]\) etc. denkt man bekannte Functionen von \(x,\) die nur noch von den durch die Grenzbedingungen völlig bestimmten Integrations-Constanten \(a_{1},\;\;a_{2},\ldots a_{2n}\) abhängen. Erscheint für die Folge irgend eine Function von \(y_{h},\;y'_{h},\;\lambda_{k}\) in der Klammer \([\;\;],\) so denkt man darunter das Resultat, das durch die Substitution der Werthe \([y_{h}]\) etc. erhalten wird. Die vorliegende Abhandlung ermittelt nun die Bedingungen, unter welchen \(\delta^{2}J\) von Null verschieden und beständig entweder positiv oder negativ ist, wie man auch die den \(m\) Gleichungen (III.) unterworfenen, im Uebrigen aber völlig willkürlichen Functionen \({\mathfrak z}_{h}\) wählen mag, wen in dem Ausdruck für \(\delta^{2}J\) die \(y_{h}\) und \(\lambda_{k}\) ihre durch Gleichung (VIII.) ermittelten Werthe erhalten. Zunächst zeigen die von Clebsch gegebenen und vom Verfasser reproducirten Formeln, wie die zweite Variation \(\delta^{2}J\) in dem besonderen Falle, dass \(y_{h}=[y_{h}],\;\;\lambda_{k}=[\lambda_{k}]\) wird, nicht von den Functionen \({\mathfrak z}_{h}\) und ihren Ableitungen einzeln genommen abhängt, sondern von \(n\) linearen und homogenen Functionen \((U_{h})\) derselben, welche \(m\) lineare und homogene Bedinungsgleichungen zu erfüllen haben. In den Gleichungen, welche diese Umformung präcisiren, sind ausser den schon erklärten, noch folgende Bezeichnungen gebraucht worden: \[ 2\Omega_{2}=2\mathop{\sum}_1^m k\mu_{k}\sum_1^n h\left\{\left[\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial y_{h}}\right]{\mathfrak z}_{h}+\left[\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial y'_{h}}\right]{\mathfrak z}_{h}'\right\}\tag{X.} \] \[ +\frac{n}{\frac{\sum h\sum}{1}}\left \{\left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}\partial y_{i}}\right] {\mathfrak z}_{h}{\mathfrak z}_{i} +2 \left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}\partial y_{i}'}\right] {\mathfrak z}_{h}{\mathfrak z}_{i}'+ \left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}'\partial y_{i}'}\right] {\mathfrak z}_{h}'{\mathfrak z}_{i}'\right\}. \] Ersetzt man in \(\Omega_{2}\) die Grössen \({\mathfrak z}_{h}\) und \({\mathfrak z}_{h}'\) durch die Function \(u_{h}^{(\sigma)}\) und ihre Ableitungen \(\frac{du_{h}^{(\sigma)}}{dx},\) die Grössen \(\mu_{k}\) durch \(r_{k}^{(\sigma)},\) so sei das Resultat symbolisch bezeichnet mit: \(\Omega_{2}(u^{(\sigma)},r^{(\sigma)});\) dann bedeutet z. B. \(\frac{\partial\Omega_{2}(u^{(\sigma)},r^{(\sigma)})}{\partial\frac{du_{h}^ {(\sigma)}}{dx}}\) die partielle Differentiation nach \(\frac{du_{h}^{(\sigma)}}{dx},\) einer Quantität, von der man \(\Omega_{2}(u^{(\sigma)},r^{(\sigma)})\) nach der gewöhnlichen Bezeichnungsweise der Functionen nicht abhängig glauben würde. \[ u_{h}^{(\sigma)}={\sum_{1}^{2n}}{}_i \gamma_{i}^{(\sigma)}\frac{\partial[y_{h}]}{\partial a_{i}},\quad r_{i}^{(\sigma)}= {\sum_1^n}{}_i \gamma_{i}^{(\sigma)} \frac{\partial[\lambda_{k}]}{\partial a_{i}}.\tag{XVI.} \] Index \(h\) nimmt wie früher alle Werthe \(1,2,3,\ldots u\) an, Index \(k\) die Werthe \(1,2,\ldots m\) an. Die \(2n^2\) Constanten \(\gamma_{i}^{(\sigma)}\) haben den \(\frac{n(n-1)}{1.2}\) Gleichungen zu genügen: \[ \sum_{1}^{n}h\left\{u_{h}^{(\sigma)} \frac {\partial\Omega_{2}(u^{(\varrho)},r^{(\varrho)})} {\partial\frac{du_{h}^{(\varrho)}}{dx}}-u_{h}^{(\varrho)} \frac{\partial\Omega_{2}(u^{(\sigma)},r^{(\sigma)})} {\partial\frac{du_{h}^{(\sigma)}}{dx}}\right\}=0,\tag{XXI.} \] sind sonst aber vorläufig völlig willkürlich. Endlich seien die Determinanten \[ \sum\pm u_{1}^{(1)}u_{2}^{(2)}\cdots u_{n}^{(n)}=U,\tag{XXIII.} \] \[ \left| \begin{matrix} \frac{d{\mathfrak z}_h}{dx}, & \frac {du^{(1)}_h}{dx}, & \cdots , & \frac{du^{(n)}_h}{dx}\\ {\mathfrak z}_1, & u^{(1)}_1, & \cdots, & u^{(n)}_1\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ {\mathfrak z}_n, & u^{(1)}_n, & \cdots, & u^{(n)}_n\end{matrix}\right| = U_h \tag{XXII.} \] Dann ist die angekündigte Umformung definirt durch die Gleichung: \[ \delta^2 J \tag{XXXII.} \] \[ =\int_{x_{0}}^{x_{1}} \frac{n}{\frac{\sum h \sum i}{1}} \left\{\left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}\partial y_{i}}\right] {\mathfrak z}_{h}{\mathfrak z}_{i}+ 2\left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}\partial y'}\right] {\mathfrak z}_{h}{\mathfrak z}_{i}'+ \left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}' \partial y_{i}'}\right] {\mathfrak z}_{h}'{\mathfrak z}_i'\right\}dx. \] \[ =\int_{x_{0}}^{x_{1}}dx\frac{n}{\frac{\sum h \sum i}{1}} \left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}\partial y_{i}'}\right] \frac{U_{h}U_{i}}{U^2}. \] Die \(n\) im Uebrigen willkürlichen Functionen \(U_h\) haben den \(m\) Gleichungen zu genügen: \[ \sum_{1}^{n} h\left[\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial y'_{h}}\right]U_{h}=0.\tag{XXXIII.} \] Diese Transformation gilt aber nur unter folgenden Einschränkungen: 1) die Coefficienten der \(\mathfrak z\) in \(\delta^2 J,\) 2) \(\frac{\partial[y]}{\partial a}\),\quad \(\frac{\partial[\lambda]}{\partial a}\) müssen in dem Intervall \(x_0\) bis \(x_1\) \textit{endlich} bleiben, 3) die Constanten \(\lambda_h^{(\sigma)}\) müssen so bestimmt werden können, dass \(U\) in demselben Intervall nicht Null werden kann. Darauf beweist Verfasser den Satz: `` Die zweite Variation \(\delta^2 J\) kann weder verschwinden, noch ihr Zeichen ändern, wenn einmal die Constanten \(\gamma\) die eben genannte Bedingung erfüllen, und wenn die homogene Function \(\frac{n}{\frac{\sum h\sum i}{1}}\left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}\partial y'_{h}}\right]U_{h}U_{i},\) in welcher die Grössen \(U_h\) der Gleichung (XXXIII.) genügen, im Intergrations-Intervall \(x_{0}\;x_{1}\) ihr Zeichen nicht ändern kann.'' Damit tritt die Frage in den Vordergrund, unter welcher Bedingung können die Constanten \(\gamma\) der gestellten Forderung genügen und welche Werthe müssen sie ev. erhalten. Diese Bedingung betrifft ausschliesslich die \textit{Ausdehnung des Integrations-Intervalles von J.} Ist \(x'\) die zunächst an \(x_0\) gelegene Wurzel der Gleichung: \[ \Delta(x,x_0)=\left| \begin{matrix} \frac{\partial[y_1]}{\partial a_1}, & \dots,\;& \frac{\partial[y_1]}{\partial a_2{2n}}\\ \cdots & \cdots & \cdots\\ \frac{\partial[y_n]}{\partial a_1}, & \dots\;,& \frac{\partial[y_n]}{\partial a_{2n}}\\ \frac{\partial[y_1]_0}{\partial a_1}, & \dots\;,& \frac{\partial [y_1]_0}{\partial a_{2n}}\\ \cdots & \cdots & \cdots\\ \frac{\partial [y_n]_0}{\partial a_1}, & \dots\;, & \frac{\partial [y_n]_0}{\partial a_{2n}}\end{matrix}\right|\tag{XXXVI.} \] \(\left(\left[\frac{\partial y_{h}}{\partial a_{i}}\right]_{0}\right.\) bedeutet den Werth von \(\left.\left[\frac{\partial y_{h}}{\partial a_{i}}\right]\text{ für }x=x_0\right)\), dann ist die gewünschte Bedingung: \textit{Die obere Grenze \(x_1\) muss \(<x'\) sein.} In diesem Falle ergiebt sich ein passendes Werth-System für die Constanten auf folgende Weise. Man löse die Gleichungen (VIII.) \(y_h=[y_h]\) und \(v_h=\left[\frac{\partial\Omega} {\partial y_h'}\right]\) in Bezug auf die \(2n\) Integrations-Constanten \(a\), dann erscheint jede derselben als Function von \(y_h\) und \(v_h\). Bildet man nun \(\left[\frac{\partial a_i}{\partial v_\sigma}\right]\) und setzt in diesem Differentialquotienten \(x=x_1+\varepsilon,\) wo \(x_{1}+\varepsilon<x',\varepsilon\) sonst aber beliebig ist, so liefern die \(2n^2\) Gleichungen: \[ \gamma_{i}^{(\sigma)}=\left[\frac{\partial(a_{i})} {\partial v_{\sigma}}\right]_{x=x_{1}+\varepsilon} \] Werthe für \(\gamma\), die sowohl die Gleichungen (XXI.) als die obige Bedingung erfüllen. So kommt denn Verfasser zu dem Schlussatz: \textit{``So lange die obere Grenze \(x_1\) zwischen \(x_0\) und der zunächst an \(x_0\) gelegenen Wurzel \(x'\) der Grenzgleichung \(\Delta(x,x_0)\) bleibt, wird das vorgelegte Integral für diejenigen Functionen \(y,\) welche die erste Variation verschwinden machen, stets ein Maximum oder Minimum, vorausgesetzt, dass die homogene Function \[ \frac{n}{\frac{\sum h\sum i}{1}}\left[\frac{\partial^2\Omega}{\partial y_{h}' \partial y_{i}'}\right] U_{h} U_{i}, \] deren \(n\) willkürliche Argumente \(U_h\) den \(m\) Bedingunsgleichungen \(\sum_{1}^{n} h\left[\frac{\partial\varphi_{k}}{\partial y'_{h}}\right]U_k=0\) unterworfen sind, innerhalb dieser Grenzen ihr Zeichen nicht zu ändern vermag; dagegen findet im Allgemeinen weder ein Maximum noch ein Minimum statt, sobald \(x_1\geqq x'\) geworden ist ''.} Dabei ist zu bemerken, dass auch noch die Bedingungen 1 und 2 für die Gleichung (XXXII.) zu erfüllen bleiben, nothwendig wenigstens die erste, während die Bedingung der Endlichkeit von \(\frac{\partial[y]}{\partial a}\) und \(\frac{\partial[\lambda]}{\partial a}\) bei einer andern Schlussweise vielleicht entbehrlich erscheint.