Some general theorems on thermodynamic equilibrium. (Q1564162)

Im Anschluss an frühere Arbeiten betrachtet der Verfasser eine Anzahl von Punktsystemen -- die Moleküle eines Gases, -- deren Zustand durch eine gewisse Anzahl von Variabeln bestimmt ist. Dieselben sollen durch ein System simultaner, linearer Differentialgleichungen bestimmt sein, deren unabhängige Variable die Zeit ist. Die hiermit angestellte Rechnung bezweckt, einen Ausdruck zu gewinnen, welcher die Anzahl der Punktsysteme giebt, deren Variable sich gleichzeitig zwischen vorgeschriebenen Grenzen befinden. Diese Anzahl muss von der Zeit unabhängig sein und bleiben, wenn das System sich selbst überlassen ist. Daraus lässt sich der weitere Schluss ziehen, dass die erwähnte Anzahl eine Function der Integrale der Differentialgleichungen sein muss, da diese und nur diese constant bleiben, wenn sich alle Variabeln gleichzeitig in der durch die Differentialgleichungen vorgeschriebenen Weise ändern. Es können daher mehrere analytische Ausdrücke für die Anzahl der Punktsysteme aufgestellt werden. Der Uebergang von einem zum andern geschieht vermittelst einer Rechnung, die eine Analogie zeigt mit der Jacobi'schen Theorie des letzten Multiplicators. In dem zweiten Theile der Arbeit ist ein Problem behandelt, das der Verfasser ``Wärmegleichgewicht einer endlichen Zahl materieller Punkte'' nennt. Wir wollen den hierbei zu Grunde liegenden Gedanken durch ein von dem Verfasser analytisch behandeltes Beispiel erläutern. Denkt man sich einen Punkt in Bewegung um ein festes Centrum unter dem Einflusse des Potentials: \(\frac{a}{r} + \frac{b}{r^{2}}\), so beschreibt derselbe eine Bahn, die niemals zu ihrem Anfangspunkt zurückkehrt. Die Bahncurve ist demnach eine Function der Zeit. Der Punkt wird aber innerhalb eines Kreisringes bleiben. Man kann dann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass der Punkt sich in einem Flächenelement dieses Kreisrings befindet. Dieselbe ist von der Zeit unabhhängig und nur Function der Coordinaten des Elements und des Bewegungszustandes des Punktes in demselben. Die erhaltene Function ist charakteristisch für die Bewegung. In dem allgemeinen Fall wird die Zeit bestimmt, während welcher die Variabeln einer endlichen Anzahl von Punkten zwischen bestimmten Grenzen liegen. Auch hier ergiebt sich ein von der Zeit unabhängiger Ausdruck, und zwar wiederum durch eine Rechnung, welche mit den Jacobi'schen Entwickelungen übereinstimmt. Die gefundenen Resultate werden schliesslich wieder angewandt auf den Zustand eines Gases.