Point determination in a triangular network using the method of least squares. (Q1564198)

Zur Einschaltung eines neuen Punktes in ein trigonometrisches Netz, dessen Punkte auf irgend eine Weise, z. B. durch rechtwinklige Coordinaten gegeben sind, genügt im Allgemeinen die Messung zweier Winkel. Sind mehr Winkel gemessen, als nöthig, so erhält man zur Ausgleichung derselben nach der Methode der kleinsten Quadrate eine Reihe von Bedingungsgleichungen, welche die Form \(\delta = ax + by + w\) besitzen. Hierbei sind \(x\) und \(y\) die gesuchten Verbesserungen der bereits näherungsweise bekannten Coordinaten \(x_{0}\), \(y_{0}\) des eingeschalteten Punktes, \(a\), \(b\) und \(w\) dagegen als bekannt anzusehende numerische Coefficienten, und \(x\) und \(y\) sind so zu bestimmen, dass \(\varSigma \delta^{2}\) ein Minimum wird. Da die Berechnung der \(a\), \(b\), \(w\) den lästigsten, weil am wenigsten zu controlirenden Theil der ganzen Arbeit bildet, so schlägt der Verfasser folgendes Verfahren vor. \(\varSigma \delta^{2}\) ist eine ganze Function zweiten Grades von \(x\) und \(y\), deren sechs Coefficienten bei der Lösung der Aufgabe allein zu kennen nötig ist. Berechnet man daher die Summe der übrigbleibenden Fehlerquadrate unter sieben verschiedenen Annahmen über die Werthe von \(x\) und \(y\), so erhält man zur Bestimmung der gesuchten Coefficienten aus den Werthen von \(\varSigma \delta^{2}\) sieben lineare Gleichungen, von denen eine als Controle aller übrigen dient. Die Rechnung wird dann besonders einfach, wenn man für \(x\) und \(y\) die Werthe \(0, \pm 1\) in verschiedenen Combinationen setzt. Um diesen Theil der Rechnung noch weiter abzukürzen, schlägt der Verfasser ferner vor, die \(\delta\) nur für die Annahme \(x = 0\), \(y = 0\) wirklich zu rechnen, und die den andern Annahmen entsprechenden Richtungsdifferenzen aus einer graphischen Construction des Dreiecksnetzes zu entnehmen.