On the accuracy of geodetic operations. (Q1564199)

Wenn bei geodätischen Operationen die Lage eines Punktes gegen feste Punkte als Durchschnitt von zwei den Winkel \(\varphi\) mit einander einschliessenden Geraden bestimmt wird, deren Richtungen als fehlerfrei betrachtet werden sollen, während die Mittelwerthe ihrer in Folge der Beobachtungsfehler zu befürchtenden Parallelverschiebungen resp. gleich \(m\) und \(n\) sind, so ist der mittlere Fehler des gesuchten Punktes, d. h. seine mittlere Entfernung \(M\) von seinem wahren Orte durch die Gleichung \(M^{2} \sin^{2} \varphi = m^{2} + n^{2}\) gegeben. Hierbei wird analog der Gauss'schen Definition des mittleren Fehlers das Quadrat des Mittelwerthes einer Grösse gleich dem arithmetischen Mittel aus den Quadraten aller ihrer möglichen Werthe gesetzt. Von der obigen einfachen Gleichung ausgehend untersucht nun der Verfasser in eingehender Weise die Ausdrücke für \(M\), welche sich bei verschiedenen einfachen geodätischen Operationen ergeben, so bei der Bestimmung durch rechtwinklige und Polar-Coordinaten, durch Vor- und Rückwärtseinschneiden, durch Anwendung der Pothenet'schen Aufgabe, sowie durch Messung von drei Winkeln oder Richtungen. Da für dieselben Fixpunkte und dieselben Messoperationen \(M\) eine bestimmte Function des gesuchten Punktes ist, so definirt die Gleichung \(M\) = const. eine Schaar von Curven, für deren Punkte das zu befürchtende \(M\) denselben Werth besitzt, die sich also abgesehen von anderen Umständen mit gleicher Sicherheit festlegen lassen. Zur Veranschaulichung der in den oben erwähnten Fällen auftretenden und hier näher discutirten Curven gleicher Genauigkeit sind der Abhandlung Zeichnungen beigefügt, aus denen man den Verlauf dieser Curven und demgemäss die, je nach den Umständen verschiedenen, relativen Vorzüge und Mängel der genannten Messungsmethoden in übersichtlischer Weise entnehmen kann.