About infinitely many algorithms for the solution of equations. (Q1564370)

Der Verfasser sucht verschiedene Methoden zur näherungsweisen Auflösung der Gleichungen unter einem gemeinschaftlichen Gesichtspunkte zu betrachten, auf Grund einer Methode, die von einem nach Amerika ausgewanderten Mathematiker, Herrn Eggers aus Meklenburg, herrührt. Er kommt dabei zu dem Satze: Ist \(f(z)=0\) die gegebene Gleichung, \(z\) ein Wurzelwerth derselben, \(F(z)\) eine beliebige innerhalb des \(z\) umschliessenden Gebietes einwerthige Function, welche die Eigenschaft hat, dass \(F(z)=z\) sich ergibt, so kann man \(z'=F(z)\), \(z''=F(z')\), \(z'''=F(z'')\) u.s.w. setzen, und gelangt dann auf diese Weise zu einem Näherungswerthe der Wurzel \(z,\) falls mod. \(F'(z)\) kleiner als 1 ist. Hierbei ist die Näherung von der 1ten Ordnung, wenn \(F'(z)\) nicht gleich Null, sie ist von der \(n\)ten Ordnung, wenn \[ F'(z)=F''(z)\cdots =F^{n-1}(z)=0 \] ist. Selbstverständlich muss aber in der ersten Näherungsgleichung \(z'=F(z)\) die Grösse \(z\) einen Werth haben, der von dem Wurzelwerth \(z\) nicht über eine gewisse Grenze abweicht, eine Grenze, deren Bestimmung zur Präcision der Näherungsmethode jedenfalls nothwendig, aber unseres Wissens noch nicht festgestellt ist. Für die Newton'sche Methode ist: \(F(z)=z -\frac{f(z)}{f'(z)}\) und ist hier \(F'(z)=0,\) also die Näherung von der 2ten Ordnung, wenn nicht die Wurzel \(z\) eine mehrfache ist. Im Anschluss an diese Betrachtungen findet der Verfasser auch einen Werth für \(F(z),\) wenn dasselbe eine Näherung von der \(n\)ten Ordnung darbieten soll, nämlich: \[ F(z) =z-f\frac{1}{f'} + \frac{f^2}{2!} \partial \left( \frac{1}{f'} \right) -\frac{f^3}{3!} \left( \frac{1}{f'}\partial \right)^2 \left( \frac{1}{f'} \right) + \cdots \] \[ \cdots + (-1)^{n-1} \frac{f^{n-1}}{n-1!}\left( \frac{1}{f'}\partial \right)^{n-2} \frac{1}{f'}-f^n \varphi, \] wo \(\varphi\) eine willkürliche Function ist, und der Algorithmus \(\left(\frac{1}{f'}\partial \right)^{n}u \) anzeigt, dass der Differenzialquotient nach \(z\) von \(u\) mit \(\frac{1}{f'}\) multiplicirt und diese Operation \(n\)mal wiederholt werden soll; setzt man \(n=\infty\), so kommt man zu der bekannten Reihe für die Wurzeln der Gleichungen: \[ F=z+ \sum_{a=1}^{a=\infty} (-1)^a \frac{f^a}{a!} \left( \frac{1}{f'} \partial \right) ^{a-1} \frac{1}{f'} \] Auch dieser Entwickelung fehlen die Betrachtungen über die Convergenz der Reihe. Einige Betrachtungen über dieselbe, sowie die Specialisirung der gewonnenen Resultate machen den Schluss der Abhandlung.