Zur Theorie der binären algebraischen Formen. (Q1564416)

Sei \(f({x}_{1}{x}_{2})=f\) eine binäre Form \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, ferner \[ \xi= \frac1n\left(y_1 \frac{df}{dx_1} +y_2 \frac{df}{dx_2}\right),\quad \eta =x_1 y_2-y_1x_2, \] dann kann man \(y\) linear durch \(\xi \eta\) ausdrücken und erhält \[ f^{n-1}\cdot f(y_1 y_2) =\xi^n+ \frac{n(n-1)}{1.2} \varphi_2 \xi^{n-2} \eta^2 - \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3} \varphi_3 \xi^{n-3} \eta^3+\dots\, \] Sind nun in symbolischer Darstellung \[ \psi_1=(ab)^2 a_x^{n-2} b_x^{n-2},\quad \psi_2=(ab)^4 a_x^{n-4} b_x^{n-4},\dots\, \] die zu \(f\) gehörigen Covarianten, die in den Coefficienten \(f\) vom \(2^{\text{ten}}\) Grade sind, so kann man die Formen \(\varphi_{2}, \varphi_{3}\dots\,\varphi_{n}\) (und also überhaupt alle Covarianten und Invarianten von \(f\)) rational durch \(f\), die \(\psi\) und die Functionaldeterminanten der \(\psi\) gegen \(f\) ausdrücken, und zwar erscheinen dabei in den Nennern immer nur Potenzen von \(f\). -- Es folgen einige Bemerkungen über die Form der \(\varphi\). Fussnote: Grösserer Bequemlichkeit halber behalten wir bei allen hierhergehörigen Abhandlungen E i n e Bezeichnungsart (die von Clebsch und Gordan) bei.