Zur Theorie der binären Formen \(6^{\text{ten}}\) Grades und zur Dreitheilung der hyperelliptischen Functionen. (Q1564426)

Die Gleichung, von welcher die Lösung der Aufgabe \(f=u^{3}-v^{2}\) abhängt, ist vom \(40^{\text{ten}}\) Grade, und stimmt mit derjenigen überein, welche C. Jordan bezüglich der Dreitheilung der hyperelliptischen Functionen \((p=2)\) gefunden hatte. Geht man von einer Lösung \(u^3-v^2\) aus, so theilen sich die übrigen \(u^{\prime 3} - v^{\prime 2} = u^3 - v^2\) in zwei Klassen; die der ersten sind derart, dass \[ v + v' = (\xi - \varepsilon \eta )(u - \varepsilon u'),\quad v - v ' =(\xi -\varepsilon ^2 \eta )(u-\varepsilon ^2u') \] ist, während bei der zweiten kein Factor von \(v^2 - v^{\prime 2}\) einen von \(u^3 - u^{\prime 3}\) ganz enthält. Die Lösungen der ersten Klasse führen auf das Hülfsproblem \(2v = 3u\xi - \xi^3 + \eta^3\), welches durch lineare Ausdrücke \(\xi, \eta\) identisch zu erfüllen ist. Man gelangt hierbei zu einer Hesse'schen Gleichung \(9^{\text{ten}}\) Grades. Jeder Lösung \(\xi\), \(\eta\) entsprechen drei Lösungen des Problems, so dass alle Lösungen erster Klasse in 9 \textit{Tripel} zerfallen. Es werden die Gleichung \(9^{\text{ten}}\) Grades, die \(12^{\text{ten}}\) Grades, von welcher die Lösung der ersteren abhängt, und die \(3^{\text{ten}}\) und \(4^{\text{ten}}\) Grades, durch welche die Lösung erfolgt, aufgestellt. Drei Lösungen des Problems, deren 2 aus der dritten mittels derselben Wurzel der biquadratischen Gleichung gefunden werden, heissen \textit{conjugirt}. Sie bleiben conjugirt, von welcher der drei man auch ausgeht. Die Wurzeln eines Tripels vorausgesetzt, ordnen sich die jedes der 8 übrigen Tripel denselben eindeutig zu. Die Lösung der Hesse'schen Gleichung kann mit den Vorstellungen in Beziehung gesetzt werden, welche das Problem der Wendepunkte einer Curve dritter Ordnung giebt. Es entsprechen conjugirten Lösungen Wendepunkte einer Geraden, der biquadratischen Gleichung die 4 Wendepunktdreiecke, der cubischen Gleichung die Seiten eines der Wendepunktdreiecke. Der Lösungen \textit{zweiter} Klasse sind 12; sie entsprechen den 12 Ecken der Wendepunktdreiecke. -- Legt man statt \(u, v\) eine andere Lösung \(u'\), \(v'\) zu Grunde, so ergiebt sich eine Reihe von Sätzen, wie z.B. dass \(u\), \(v\) erster Klasse in Bezug auf \(u'\), \(v'\) ist, wenn es \(u'\), \(v'\) in Bezug auf \(u\), \(v\) war, u.s.w. Geht man nun von \(u\), \(v\) aus, so kommt man zu drei entsprechenden \(u' v'\), \(u_1' v_1'\), \(u_2' v_2'\) und erhält ein \textit{Quadrupel}, welches dadurch charakterisirt ist, dass, wenn man irgend eine zum Ausgangspunkt wählt, die 3 andern ein zugehöriges Tripel erster Klasse bilden. Es giebt 90 solche Quadrupel; und zugleich für jedes 4 Lösungen, welche bei allen Anordnungen \(2^{\text{ter}}\) Klasse bleiben. Solcher \textit{Quadrupelpaare} giebt es also 45, und es ist auf 27 Arten möglich, die 40 Wurzeln in 5 Quadrupelpaare zu ordnen.