On simple number systems. (Q1564457)

Sind 2 Systeme ganzer Zahlen gegeben \(a, b, c,..\) und \(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c},..,\) und kann man jede ganze Zahl \(n\) auf eine und auch nur auf eine Art in der Form \(\alpha a+\beta b+\gamma c+ \cdot \cdot =n \;(\alpha \leqq \overset {-} a, \beta \leqq \overset {-} b,.. \) darstellen, so heisst dies System ein ``einfaches Zahlensystem.'' Für ein solches ist es nothwendig und hinreichend, dass jede der Zahlen \(a, b, c, ...\) in der folgenden ohne Rest aufgeht und höchstens so oft vorkommen kann, als der um 1 verminderte Quotient beträgt, also \(a,\;\frac{b}{a}-1\) mal; \(b, \;\frac{c}{b}-1\) mal u. s. w. Führt man noch die Brüche \(\frac{1}{b'},\;\;\frac{1}{bb'}, \;\;\frac{1}{bb'b''},..\) ein und zwar entsprechend in den Anzahlen \(b-1,\;b'-1,..,\) so ist auch jeder Bruch auf eine und nur eine Weise in der Form \(\frac{p}{q}=A_{0} =\frac{\lambda}{b} +\frac{\lambda}{bb'},..\) darstellbar. Ist das System der \(b\) so beschaffen, dass jedes beliebige \(q\) Theiler eines der Nenner und also auch jedes folgenden wird, so sind bei rationalen Grössen die \(\lambda\) entweder \(0\), oder sie haben die höchsten ihnen zustehenden Werthe. Umgekehrt: Ist \textit{jede} Zahl in einem Nenner als Theiler enthalten, so ist die obige Bedingung für die Rationalität von \(A_{0}=\frac{\lambda}{b}+\frac{\lambda'}{bb_{1}},..\) nothwendig. Anwendung auf \(e\). Ist die Reihe der \(b\) von \(b^{(\varrho)}\) an periodisch, so ist die Periodicität der \(\lambda\) nothwendige und hinreichende Bedingung für die Rationalität der dargestellten Grösse.