A rule of forming denominators and numerators in the representation of a continued fraction by an ordinary fraction. (Q1564500)

Euler hat das Gesetz der Bildung des Bruches \[ Q={a+\frac{1}{^{^b}\frac{+1}{^{^{c+}}}}_{{{\cdot\cdot}}}{_{\frac{+1}{i}}}} \] angegeben. Sei \(Q=\frac{(a b c ..i)}{(b c ...i)}\), so bildet er \( (a b c ..i) =a\cdot b\cdot c..i\). \[ \left( 1+ \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\cdot\cdot + \frac{1}{ef}+\cdot\cdot + \frac{1}{ab\cdot cd}+\cdot\cdot\right). \] Die Nenner der Brüche innerhalb der Klammer sind zuerst alle Producte je zweier aufeinanderfolgender Grössen \(a, b, ..i;\) dann alle möglichen Producte der angegebenen Producte, welche keinen gemeinsamen Factor haben u. s. w. Minding theilt ein anderes Gesetz mit. Um \((u_0 \cdot t_1 u_1 \cdot t_2 u_2 \cdot \cdot t_s u_s)\) zu bilden, formt man die Summe der Producte der \(u\) zu je 1, 2, 3,.. und multiplicirt jedes \(u_\lambda u_\mu\) mit der Summe der zwischen \(u_\lambda\) und \(u_\mu\) befindlichen \(t,\) z.B. \(u_0 u_3 u_4 u_7\) mit \((t_1+t_2)t_4(t_5+t_6+t_7)\). Ist die Zahl der Elemente gerade, ist also \((t_1 u_1 \cdot \cdot t_s u_s)\) gegeben, so ist dies das Aggregat der mit \(u_1\) multiplicirten Glieder der vorigen Summe.