Proof of a lemma in the theory of definite integrals. (Q1564583)

Der von H. du Bois-Reymond, Borchardt J. LXIX. (siehe Fortschr. d. Math. I. p. 101-105, JFM 01.0101.01) angegebene Mittelwerthsatz \[ \int^{b}_{a} fx \cdot \varphi x \cdot dx = fa \int^{\xi}_{a} \varphi x \cdot d x + fb \int^{b}_{\xi} \varphi x \cdot dx;\quad b > \xi > a \] wird auf neue und einfache Weise bewiesen. Zur Gültigkeit des Satzes sind folgende Bedingungen zu erfüllen: \(fx\) muss von \(x=a\) bis \(x=b\) entweder nicht wachsen oder nicht abnehmen; \(\int^{b}_{u} \varphi x dx\) bleibt stetig, wenn \(u\) von \(a\) bis \(b\) variirt.