On functions related to Legendre functions. (Q1564595)

Bekanntlich kann man aus dem Werth des Integrals \[ \int^{+1}_{-1} \frac{1}{\sqrt{1-2s x + s^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-2 t x + t^2}}\, dx \] die wichtige Eigenschaft der Legendre'schen Functionen \(X_0 , X_1 , X_2 ,\dots\) ableiten, die darin besteht, dass \[ \int^{+1}_{-1} X_n X_m \, dx = 0, \] wo \(n\) und \(m\) verschiedene Indices sind. H. Tchébyscheff betrachtet in seiner Note das allgemeinere Integral \[ \int^{+1}_{-1} \frac{F(s, x) F(t, x) \,dx}{(1 + x)^{\lambda}(1-x) \mu}, \] wo \[ F(s,x) = \frac{(1 + s + \sqrt{1-2sx + s^2})^{\lambda} \cdot (1 - s + \sqrt{1-2 sx + s^2})^{\mu}}{\sqrt{1 - 2 sx + s^2}} \] ist. Nach Fortschaffung der Wurzeln reducirt sich das Integral auf \[ \int^{1}_{0} \frac{z^{\lambda+\mu - 1} \cdot (1-stz)^{\mu}} {z^{\lambda}(1 - z^{\mu}) \cdot (1 - stz)}\, dz. \] Dies lässt sich in eine Reihe nach Potenzen des Produkts \(st\) entwickeln. Daraus leitet der Herr Verfasser folgenden Satz ab: ``Sind \[ T_0 + T_1 s + T_2 s^2 + \cdots +T_0 + T_1 t + T_2 t^2 + \cdots \] die Entwickelungen der Functionen \(F(s, x)\), \(F(t, x)\), wo \(T_0,T_1,\ldots\) ganze Functionen der Variabeln \(x\) sind, so genügen die Functionen \(T_0,T_1,\dots\) der Gleichung \[ \int^{+1}_{-1} \frac{T_m T_n }{(1-x)^{\lambda} \cdot (1-x)^{\mu}}\, dx = 0, \] wo \(m\) und \(n\) verschiedene Indices sind''.