Supplement to a paper on the discontinuity of arbitrary constants which appear in divergent developments. (Q1564603)

Der Verfasser nimmt Bezug auf 2 frühere Arbeiten: ``On the numerical calculation of a class of definite integrals and infinite series'' (Trans. Cambridge 9) und ``On the discontinuity of arbitrary constants etc.'' (Ibid. X.). In diesen Arbeiten handelt es sich um folgende Frage: Sind \(y = P\) und \(y = Q\) particuläre Lösungen einer Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung, und \(y = U\) und \(y = V\) particuläre Lösungen derselben Gleichung, so sollen die Constanten \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) in den Gleichungen \[ U = AP + BQ,\quad V = CP + DQ \] bestimmt werden. In den betrachteten Fällen sind \(U\) und \(V\) nach steigenden Potenzen von \(x\) fortschreitende Reihen, die aber für grosse Werthe von \(x\) schwer zu berechnen sind; \(P\) und \(Q\) sind nach fallenden Potenzen von \(x\) fortschreitende Reihen, die stets divergiren aber für grosse \(x\) anfänglich convergent sind und deren numerischer Werth ziemlich genau und leicht erhalten werden kann, wenn man die Summation nur so weit fortsetzt, als die Reihen convergiren. In der Arbeit Band 10 wurde gezeigt, dass die constanten Coefficienten der absteigenden Reihen in Wirklichkeit discontinuirlich sind, dass sie denselben Werth zwischen gewissen Werthen der Amplitude der imaginären Variabeln annehmen, und dann plötzlich verschiedene Werthe erhalten. In der vorliegenden Ergänzung ist die Frage der Bestimmung dieser Constanten weiter entwickelt, und die allgemeine Methode angewendet auf die Gleichung \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{n^2}{x^2} y = y. \] In dem besonderen Falle \(n = 0\), der betrachtet wird, ist eine der nach steigenden Potenzen fortschreitenden Lösungen die folgende: \[ y = 1 + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^4}{2^2 \cdot 4^2} + \frac{x^6}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2} + \text{etc}., \] d. h. Bessel's Integral mit einem rein imaginären Werth der Variabeln, nämlich \(J^{0}_{i x}\).