On the integration of first order partial differential equations (Q1564623)

Die Arbeit giebt in sehr ausführlicher Weise die Untersuchungen über partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, wie sie in neuster Zeit zur Abrundung gekommen ist. Der H. V. schliesst sich im Allgemeinen der Jakobi'schen Behandlungsweise, wie sie in seiner hinterlassenen von Clebsch veröffentlichten Arbeit gegeben ist, an, nimmt aber dabei auf die vorausgehenden Untersuchungen von La Grange, Charpit, Pfaff, Cauchy und Jacobi, selbst auf die späteren von Liouville, Bertrand, Bour u. s. w. vielfach Rücksicht. Die Arbeit selbst zerfällt in 7 Kapitel, in deren erstem die verschiedenen Formen der Integrale der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, namentlich des vollständligen singulären allgemeinen Integrals behandelt werden. Das \(2^{\text{te}}\) Kapitel betrifft diejenigen Formen von allgemeinen Integralen, welche zu einer Differentialgleichung führen, welche in Bezug auf die Ableitungen linear ist. Das \(3^{\text{te}}\) Kapitel geht dann auf die allgemeine Integration über, sie wird nach Jakobi gegeben, in dessen Behandlung der Verfasser jedoch einige Vereinfachungen einführt. Zunächst wird der Fall von 2 unabhängigen Variablen behandelt, in welchem Falle das Jacobi'sche Verfahren mit dem von La Grange und Charpit gegebenen identisch, ist, dann aber der allgemeine Fall behandelt. Im \(4^{\text{ten}}\) und \(5^{\text{ten}}\) Kapitel wird diese Integration dann zu Ende geführt. Das \(6^{\text{te}}\) Kapitel beschäftigt sich mit der von Bour gegebenen Erweiterung der Jacobi'schen Theorie auf simultane partielle Differentialgleichungen erster Ordnung und deren Anwendung auf verschiedene Probleme. Im \(7^{\text{ten}}\) Kapitel wird die Theorie der sogenannten Hamilton'schen Differentialgleichungen behandelt, d. h. derjenigen totalen Differentialgleichungen, die sich auf eine partielle Differentialgleichung \(1^{\text{ter}}\) Ordnung zurückführen lassen, welche namentlich in der Mechanik und Variationsrechnung vorkommen. Endlich giebt das \(8^{\text{te}}\) Kapitel noch eine Uebersicht der Methode, welche Cauchy für die partiellen Differentialgleichungen anwendet.