The theorem of in the calculus of variations which corresponds to the principle of least action in mechanics (Q1564633)

Der Verfasser betrachtet den in Rede stehenden Satz als einen besonderen Fall eines allgemeineren der Variationsrechnung, der letztere wiederum ist eine Interpretation der bekannten Zurückführung der Hamilton'schen partiellen Differentialgleichung, durch welche sich die Probleme der Variationsrechnung bestimmen lassen, auf eine andere, welche die Grundvariable nicht enthält. Diese Zurückführung wird aber vom Verfasser auf elementarem Wege bewirkt und besteht in dem Satze: Sind \(y\, y_1\,y_2\dots y_n\) unbekannte Funktionen von \(x\), ferner \(\varphi_1, \varphi_2 \dots \varphi_m\) \((m < n + 1)\) Funktionen der \(y\), \(f\) eine Funktion der \(y\) und ihrer ersten Differentialquotienten \(y'\). Soll dann die Variation des Integrales \[ v= \int^{\alpha_r}_{\alpha_1} f dx \] unter der Bedingung verschwinden, dass auch die Funktionen \(\varphi\) gleich Null werden, so führt dies bekanntlich auf \(n+1\) Differentialgleichungen von der Form: \[ 1) \quad \frac{df}{dy_i} = \sum^{k=m}_{k=1} \lambda_k \frac{d \varphi_k}{dy_i} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dx}{dy'_i} \right). \] Der Umstand, dass in den Funktionen \(\varphi\) und \(f\) das \(x\) selbst nicht vorkommt, bedingt, dass der Ausdruck: \[ 2)\quad y'\, \frac{df}{dy'} + y'_1\, \frac{df}{dy'_1} + \cdots y'_m\,\frac{df}{dy_n'} - f = h. \] Führt man nun statt \(x\) die Grösse \(y\) als unabhängige Variable ein, und eliminirt mittelst der letzten Gleichung \(dx\), transformirt demgemäss die in \(f\) befindlichen nach \(x\) genommenen Differentialquotienten, wodurch die Funktion \(f\) übergehen möge in \(F\), welche letztere Funktion die Differentialquotienten von \(y_1 \dots y_n\) nach \(y\) enthält, so gehen die Gleichungen 1) über in die \(n\) Gleichungen: \[ 3)\quad \frac{d \frac{F+h}{w}}{dy_i} \,+ \sum^{k=m}_{k=1} \mu_k\, \frac{d \varphi_k}{dy_i} = \frac{d}{dy} - \frac{d\, \frac{F + h}{w}}{d \frac{dy_i}{dy}}\,, \] wo \(w\) der Werth von \(y' = \frac{dy}{dx}\) ist, der sich aus Gleichung 2) ergiebt. Diese Gleichungen sind ganz von der Form, wie die Gleichungen 1) und lösen also das Problem, die Variation von: \[ W = \int^{b_1}_{b_0} \frac{F + h}{w}\,dy \] zum Verschwinden zu bringen, wo \(b_0 b_1\) leicht zu bestimmende Grenzen sind. Die erstere Aufgabe lässt sich also auf die letztere zurückführen und umgekehrt. Um hieraus den Satz von den kleinsten Wirkungen abzuleiten, muss man setzen: \(x = t\), \(f = T + U\), für die \(y\) die Coordinaten \(x\), \(y\), \(z\) der Punkte des Systems, \(F = \frac{1}{2} \sum_i m_i (x_i^{\prime 2} + y_i^{\prime 2} + z_i^{\prime 2});\) es ist dann \(V = \int(T + U) dt\), und das Integral 2) der Satz von der lebendigen Kraft, \(T = U + h\), während das Integral \(W\) den Satz von den kleinsten Wirkungen enthält.