On the method for distinguishing maxima and minima of definite multiple integrals (Q1564634)

Um zu entscheiden, ob ein einfaches oder vielfaches Integral zu einem Maximum oder Minimum wird, hat man bekanntlich die zweite Variation zu untersuchen. Eine Methode für die Discussion der zweiten Variation vielfacher Integrale ist zuerst von Clebsch angegeben (Borchardt J. LVI. 122). In der vorliegenden Arbeit giebt Herr S. eine andere Reduktion der zweiten Variation, indem er an Stelle der Variationen gewisse lineäre, algebraische Ausdrücke von willkürlichen Constanten substituirt. -- Die Methode ist ganz allgemein und es wird nur die eine Voraussetzung gemacht, dass die Variationen der Grenzen constant sind. Die Grundzüge der Methode sind folgende: Gegeben ist das vielfache Integral: \[ W = \int w d x_1 \dots. d x_i ; \] die Funktion \(w\) enthält 1) die unabhängigen Variabeln \(x_1 x_2 \dots. x_i,\) 2) die abhängigen Variabeln \(y_1 \dots. y_s\), die als Funktionen von \(x_1 \dots. x_i\) zu bestimmen sind, 3) die \(s.i\) partiellen Differentialquotienten der letzteren \(p_{si}\), wo \(p_{si} = \frac{dy_s}{dx_i}.\) Sind ausserdem die Bedingungsgleichungen \(\varphi_1 = 0\), \(\varphi_2 = 0\dots \varphi_k = 0\) gegeben, so bilde man \[ v = w + \sum \lambda_k \varphi_k, \] \[ V = \int v d x_1 \dots dx_i ; \] so giebt \(\delta V = 0\) bekanntlich mit den Bedingungsgleichungen \(\varphi = 0\) zusammen die Differentialgleichungen des Problems, so wie die Grenzbedingungen. Der Verfasser bildet nun den Ausdruck für \(\delta^2 V\) und führt darin an Stelle der Variationen \(w_1 \dots w_s\) der \(y\) folgende Werthe ein. Bezeichnet \(a_e\) eine Integrationsconstante, die in die Ausdrücke von \(y\) und \(x\) erst in Folge der Integration der Differentialgleichungen des Problems eintritt und die entweder in einer willkürlichen Funktion oder unabhängig davon stehen kann. so bilde man die Summen: \[ \begin{matrix} L_{11} = \sum_e b_{1e}\, \frac{dy_1}{da_e} , \cdots L_{1n} = \sum_e b_{ne} \frac{dy_1}{da_e} \cdots \cdot \\ \\ \hdotsfor 1\\ \\ L_{s1} = \sum_e b_{1e} \frac{dy_s}{da_e} , \cdots L_{sn} = \sum_e b_{ne}\, \frac{dy_s}{da_e} \cdots \cdot ,\end{matrix} \] wo die \(b_{11} \dots b_{1e} \dots. b_{s1} \dots. b_{se}\) unbestimmte Constante sind, die weder in den Funktionen \(y\) und \(x\) noch in den Differentialgleichungen, noch in den Grenzbedingungen vorkommen. Diese unbestimmten Constanten sind nur so zu wählen, dass die Determinante \(D\) der \(s^2\) Grössen \(L\) nicht gleich 0 wird. Ist diese Bedingung erfüllt, so kann man die Variationen \(w\) der \(y\) als Funktionen von eben so viel unabhängigen Variabeln \(t_n\) ausdrücken, indem man die \(L\) zu Coefficienten macht, also setzt: \[ w_s = \sum_n L_{sn} t_n , \] wo die \(t_n\) als willküliche Funktionen von \(x_1 \dots x_i\) anzusehen sind. Diese Ausdrücke setzt der Verfasser in den Ausdruck für \(\delta^2 V\) ein und gelangt dann nach verschiedenen ziemlich complicirten Reductionen zu einem Ausdruck für \(\delta^2 V\), der unter dem Integralzeichen einen homogenen Differentialausdruck vom zweiten Grade in Bezug auf die willkürlichen Variabeln enthält.