On the determination of functions by the average of the values that correspond to given values of the variable. (Q1564649)

Herr Tchébycheff erinnert zunächst an die Cauchy'sche Formel zur Bestimmung einer Funktion aus \(n\) speciellen Werthen \(u_1, u_2 , \dots u_n\), die den Werthen \(x_1 , x_2 ,\dots x_n\) der Variabeln entsprachen, für den Fall eines rationalen Bruches \(\frac{N}{D}\) (\(D\) und \(N\) sind Polynome von \(x\) und nicht höheren Grades als \(\lambda\) resp. \(n - \lambda - 1\)). Dann giebt der Verfasser folgende Lösung des Problems: \[ \text{``Es sei } \varphi x = (x - x_1)(x - x_2) \cdots \cdot (x - x_n), \] \[ U = \varphi x \cdot \left\{ \frac{u_1}{(x - x_1) \varphi' x_1} + \frac{u_2}{(x - x_2) \varphi' x_2} + \cdot \cdot + \frac{u_n}{(x-x_{n}) \varphi' x_n} \right\}. \] Theilt man successive \(\varphi x\) durch \(U\), \(U\) durch den ersten Rest \(k\) u. s. f., bis man zu einem Rest \(k_{\mu}\) gelangt, dessen Grad geringer als \(n - \lambda\) ist; sind ferner \(q, q_1 , \dots q_{\mu}\) die sich dabei ergebenden Quotienten, \(k_1 , k_2 , \dots k_{\mu}\) die dadurch erhaltenen Reste, so wird der letzte Rest mit dem Zeichen + oder \(-\) der Zähler \(N\) sein. Den Nenner \(D = Q_{\mu}\), ausgedrückt in \(q_1 , q_2 , \dots q_{\mu}\) erhält man durch die Formeln: \[ Q_0 = 1, \quad Q_1 = q_1 ,\quad Q_2 = q_1 q_2 + 1, \dots \] \[ {Q_i = Q_{i - 1 \cdot q_i} + Q_{i - 2} , \dots Q_{\mu} = D = Q_{\mu -1 q_{\mu}} + Q_{\mu - 2}.} \] Was das Zeichen von \(N\) betrifft, so ist es positiv oder negativ, je nachdem die Anzahl der Divisionen gerade oder ungerade ist''. Dann geht der Verfasser zu irrationalen Funktionen über. Er betrachtet den einfachsten Fall, wo \(u\) die Wurzel der Gleichung \(u^2 + LU + M = 0\) ist und sucht nur die Lösung, in der der Grad von \(L\) nicht höher als \(n\) und die Funktion \(M\) von geringstem von \(L\) nicht höher als \(n\) und die Funktion \(M\) von geringstem möglichen Grade ist. Er reducirt das Problem auf die Bestimmung solcher Funktionen \(L\) und \(W\), dass die Differenz \(L\frac{U}{\varphi x} - W\), wo \(U\) und \(\varphi x\) obige Bedeutung haben, die Funktion \(\frac{U^2} {fx}\) möglichst genähert darstellt. Ein ähnliches Problem ist übrigens von demselben Verfasser in dem Aufsatz: ``Sur le développement des fonctions en séries au moyen des fractions continues 1866'' gelöst.