On systems of functions of several variables. (Q1564653)

Herr Kronecker sucht, vom Sturm'schen Satze ausgehend, das den Sturm'schen Entwickelungen zu Grunde liegende Kettenbruch-Verfahren zu verallgemeinern und die allgemeineren Resultate zu interpretiren. Es schliesst sich daran eine Ausdehnung des Cauchy'schen Satzes. -- Die Grundlage der Untersuchung bildet der Herrn Kronecker neu eingeführte Begriff der Charakteristik von Funktionen-Systemen. Es seien \(F_0 , F_1 , \dots F_n (n + 1)\) Funktionen, jede von den \(n\) Variabeln \(z_1 \dots z_n\). Setzt man \((n - 1)\) der Funktionen \( = 0, F_i = 0 ,\) (wo \(i\) alle Indices ausser \(h\) und \(k\) bezeichnet) so ist die Veränderlichkeit der \(z\) auf eine einfache Mannigfaltigfeit beschränkt; die zugehörigen Werthsysteme \(z\) bilden eine stetige Folge, die als Linie zu betrachten ist; ein einzelnes Werthsystem der \(z\) wird als Punkt betrachtet. Der Sinn des Fortganges in einer solchen Linie wird bestimmt durch das Zeichen der Funktionaldeterminante, die gebildet ist aus den \((n - 1)\) Funktionen \(F_i\) und irgend einer eindeutigen Funktion \(\psi\). Je nachdem \(\psi\) an Stelle von \(F_h\) oder \(F_k\) tritt, ist das Zeichen der Funktionaldeterminante und damit der Sinn des Umganges ein verschiedener. Von allen Linien, die so aus dem Funktionensystem entstehen \([\frac{1}{2} n (n + 1)\) an der Zahl], wird angenommen, dass sie geschlossen seien, dass ausserdem die Anzahl der durch \(n\) Gleichungen bestimmten Punkte endlich sei. -- Irgend eine solche Linie \([h k]\) schneidet die \((n - 1)\)fache Mannigfaltigkeit \(F_h = 0\), und tritt an diesen Stellen aus dem Bereiche , wo \(F_h . F_k < 0\) in einen, wo \(F_h . F_k > 0\), oder umgekehrt. Herr Kronecker fasst dies so auf, dass die Linie dort aus dem Bereiche \(F_h = 0\) austritt, oder in denselben eintritt. Subtrahirt man nun die Anzahl der Austritte von der der Eintritte, so ist die Hälfte dieser Differenz eine ganze Zahl (positiv, negativ oder = 0) und constant, wie man auch die Indices \(h\) und \(k\) auswählen mag; die Zahl heisst daher Charakteristik des Funktionensystems. Für dieselbe beweist Herr Kronecker ausser dem Satz von der Constanz noch einige andere Sätze. -- Sind \(F_0 , F_1 , \dots F_n\) ganze rationale Funktionen, so lässt sich dieselben ein der Kettenbruch-Entwickelung analoges Verfahren anwenden, das Herr Kronecker in einer früheren Arbeit (Monatsber. 1865 Dezember) auseinandergetzt hat; und die durch dasselbe gebildete Reihe von Funktionen kann zur Ermittelung der Charakteristik dienen, wie an einem einfachen Beispiel \((n = 2)\) gezeigt wird. Herr Kronecker leitet dann weiter für die Charakteristik einen Ausdruck durch ein \((n - 1)\) faches Integral ab; dies Integral stellt in doppelter Hinsicht eine Verallgemeinerung des von Gauss in der theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum Art. 6 gegebenen Integrals dar; denn es ist 1) die Beschränkung auf 3 Integrationsvariable und 2) auch für \(n = 3\) die Beschränkung auf Begrenzungen einfacher Körper aufgehoben, also der Fall einer gegenseitigen Durchdringung von Körpern nicht ausgeschlossen. -- Das erwähnte Integral von Gauss setzt die Dichtigkeit als constant voraus, man erhält ein etwas allgemeineres, wenn man auch die Dichtigkeit variabel annimmt. Auch für das so erhaltene Integral findet Herr Kronecker eine Verallgemeinenerung und gelangt dadurch zur Ausdehnung gewisser Potentialsätze auf \(n\) Variable. Diese Sätze beziehen sich namentlich auf den Werth, den die Summe der zweiten Differentialquotienten des Potentials annimmt. -- Für den Fall, dass \(n = 2 m\), und dass die Funktionen \(F_1 , \dots F_n\) die \(n\) Theile von \(m\) Funktionen der complexen Variabeln: \[ y_1 = z_1 + i . z_{m+1},\quad y_2 = z_2 + i . z_{m+2},\dots y_n = z_m + i . z_{2m}, \] ergiebt sich aus dem Vorhergehenden eine Verallgemeinerung des Cauchy'schen Satzes. -- Einige der gefundenen Resultate kann man mittelst partieller Integration vielfacher Integrale nachträglich verificiren. Bemerkt mag noch werden, dass diejenige der aufgestellten Relationen, welche eine Verallgemeinerung der partiellen Differentialgleichung des Potentials bildet, unabhängig ist von den Voraussetzungen, die bei Herleitung der Potentialgleichung über die Differentiirbarkeit der Dichtigkeitsfunktion gemacht werden. In der zweiten Arbeit leitet Herr Kronecker aus der Theorie der Charakteristik von Funktionen-Systemen eine Ausdehnung der Theorie der Krümmung von Flächen auf Funktionen mehrerer Variabeln ab. Wenn die Funktionen \(F_1 , F_2 , \dots F_n\) die partiellen Ableitungen der Funktion \(F_0\) sind, so geht das Integral der Charakteristik für den Fall \(n = 3\) in die üeber die Fläche \(F_0 = 0\) ausgedehnte ``curvatira integra'' über, letztere durch \(4 \pi\) dividirt. Dies Resultat leitet Herrn Kronecker darauf, die Theorie der Krümmung auf Funktionen von \(n\) Variabeln zu übertragen; über die betreffenden Untersuchungen werden jedoch in der vorliegenden Arbeit nur einige vorläufige Andeutungen gegeben.