On the expression of the modulus of the elliptic transcendants as a function of the quotient of the two periods. (Q1564680)

Für den Modul \(k\) als Funktion von \(\omega = \frac{ik'}{k}\) hat man bekanntlich die Gleichung \[ k^2 = f (\omega) = \left[ \frac{2e^{\frac{i \pi \omega}{4}} + 2e^{9 \frac{i \pi \omega}{4}} + \cdots}{1 + 2e^{i \pi \omega} + 2e^{4i \pi \omega} + \cdots }\right] ^4, \] wo \(\omega\) unter transcendenter Form erscheint. Der Verfasser hat früher gezeigt, dass wenn man auf die Funktion \(f (i + \omega)\) die Maclaurin'sche Reihe anwendet, man eine in \(\omega\) algebraische Entwickelung erhält, deren Coefficienten aber nicht rational, sondern mit der numerischen Transcendente \[ \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{d \varphi}{\sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin ^2 \varphi}} \] behaftet sind. Hier giebt nun der Verfasser eine neue algebraische Entwickelung, worin die Coefficienten rein rational sind, welche ausserdem eine für die Transformation wichtige Eigenschaft besitzt.