About curves whose arcs can be expressed as elliptic integrals of the first kind. (Q1564685)

Das Problem ``Alle Curven zu finden, deren Bogen sich -- wie die der Lemniscate -- durch elliptische Integrale erster Gattung ausdrücken lassen, welche also die Eigenschaft der Kreisbogen besitzen, dass sie addirt, subtrahirt, multiplicirt und dividirt werden können'', hat vielfach das Interesse der Mathematiker erregt. Legendre (Traité des fonctions elliptiques. II. 590) fand eine Curve sechster Ordnung, deren Bogen sich darstellen liess als Summe eines elliptischen und eines Abel'schen Integrals erster Gattung. Gudermann und Roberts fanden eine Gattung sphärischer Kegelschnitte, welche die im Problem geforderte Eigenschaft besassen. Des Ersteren Arbeiten sind nicht veröffentlicht, die des Letzteren siehe Liouville J. (2) IX. 155, X. 297, VIII. 263. Serret wies nach, dass die Anzahl solcher Curven schon in der Ebene eine unendliche sei (Liouville J. (2) X. 256-295). Doch ist es bis jetzt weder ihm noch einem Andern gelungen, das besagte Problem allgemein zu lösen. Herr Kiepert gelangt in der vorliegenden Arbeit zu einer Verallgemeinerung der von Serret gefunden Curven, indem er specielle Fälle derjenigen Form untersucht, in welcher Herr Weierstrass (in seinen Vorlesungen über elliptische Funktionen) alle doppeltperiodischen Funktionen durch die von ihm eingeführte \(\sigma\)-Funktion darstellt. Definirt man nämlich eine Funktion \(p (u)\) durch die Gleichung \[ \left( \frac{dpu}{du} \right)^2 = 4p (u)^3 - g_2 \cdot p (u) - g_3,\quad [u = 0, p (u) = \infty], \] worin \(g_2\), \(g_3\) die Invarianten der allgemeinen biquadratischen Form sind, und führt die Funktion \(\sigma (u)\) durch die Gleichung \[ \frac{d^2 \log \sigma (u)}{du^2} = -p (u) \] ein, so ist jene allgemeine Form jeder doppeltperiodischen Funktion: \[ C' + \sum^{k_1}_{1}{}_{\nu}c_{1, \nu} \frac{d^{\nu}}{du^{\nu}} \log \sigma (u - a_1) + \sum^{k_2}_{1}{}_{\nu}c_{2,\nu} \frac{d^\nu}{du^\nu} \log \sigma (u - a_2) + \cdots \] \[ + \sum^{k_{r}}_{1}{}_{\nu}c_{r,\nu} \frac{d^{\nu}}{du^{\nu}} \log \sigma (u - a_r) \] mit der Bedingung: \(c_{1,1} + c_{2,1} + \cdots + c_{r,1} = 0\). Die Eigenschaften der Funktion \(\sigma\) und ihrer logarithmischen Ableitung geben nun das Mittel an die Hand, aus den vom Verfasser zunächst betrachteten Beispielen: \[ \varphi (u) = \frac{dx + idy}{du} = \sum^{m}_{1}{}_{\nu} c_{1, \nu} \frac{d^{2 \nu + 1}}{du^{2 \nu + 1}} \log \sigma (u - a_1) + \sum^{n}_{1}{}_{\nu} c_{2, \nu} \frac{d^{2 \nu + 1}}{du^{2 \nu + 1}} \log \sigma (u - a_2) \] und \[ \varphi (u) = \frac{dx + idy}{du} = \sum^{m}_{1}{}_{\nu} c_{1,\nu} \frac{d^{2 \nu}}{du^{2 \nu}} \left\{ \log \sigma \left( u + \frac{\omega'}{2} \right) - \log \sigma \left( u - \omega +\frac{\omega'}{2} \right) \right\} \] \[ + \sum^{n}_{1}{}_{\nu} c_{2, \nu} \frac{d^{2 \nu + 1}}{du^{2 \nu + 1}} \left\{ \log \sigma \left( u + \frac{\omega}{2} - \frac{\omega'}{2} \right) - \log \sigma \left( u - \frac{\omega}{2} - \frac{\omega'}{2} \right) \right\}, \] wo \(2\omega\) und \(2\omega'\) die Perioden der Funktion \(\sigma (u)\) sind, Gleichungen zur Bestimmung der Constanten zu gewinnen. Durchgeführt wird nur das letztere Beispiel für den Fall \(m = n = 1\), der die Curve \(6^{\text{ten}}\) Grades: \[ x^4 - y^4 = \frac{32}{243\overline{e}^{2}_{1}} (x^2 + y^2)^{3} + \frac{27}{16} \overline{e}^{2}_{1} (x^2 + y^2) - \frac{243\sqrt{3}}{512} \;\overline{e}^{4}_{1} \] liefert, worin \(\overline{e}_{1}\) eine beliebige positive Zahl ist. -- Ein ferneres Beispiel liefert die Curve \[ \varphi (u) = \frac{dx + idy}{du} = p \left( u + \frac{2 \omega}{3} -\frac{2 \omega'}{3} \right) + \varepsilon p \left( u - \frac{2 \omega}{3} \right) + \varepsilon p \left( - \frac{2 \omega}{3} \right) + \varepsilon^2 p \left( u + \frac{2 \omega'}{3} \right), \] wo \(\varepsilon\) primitive Wurzel der Gleichung \(z^r = 1\). -- In dem zweiten Theile der Arbeit weist der Verfasser an dem Beispiel der Lemniscate nach, dass alle ebenen Curven der im Problem verlangten Eigenschaft nur specielle Fälle von Curven doppelter Krümmung sind. Ihre Bogen lassen sich -- wie das Additionstheorem der elliptischen Funktionen lehrt -- mit Hülfe von Lineal und Cirkel theilen.