The cylinder functions of the first and second kind. (Q1564704)

Heine hat (Fortschr. d. M. I. p. 146, JFM 01.0146.01) die Fourier-Bessel'schen Funktionen oder Cylinderfunktionen als Grenzwerthe von Kugelfunktionen dargestellt. Hankel verweist auf Hansen (Abhandlungen der Sächsischen Gesellsch. d. W. 1855 p. 252), welcher \[ J^n (x) = \left( \frac{x}{2} \right)^n \cdot \frac{1}{\varGamma (n + l)}\, F \left( \omega, \omega', n + 1, - \frac{x^2}{4 \omega \omega'} \right), \] d. i. \(J^n (x)\) als Grenzwerth der hypergeometrischen Funktion \(F\) für unendlich grosse \(\omega\) und \(\omega'\) ableitet, was zur Vervollständigung der im vorigen Jahrgang aufgeführten Literatur erwähnt sein mag. Die Abweichung von der Continuität der Lösungen der Gleichung \[ \frac{d^2 R}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dR}{dx} + \left( 1- \frac{n^2}{x^2} \right) R = 0, \] dass, wenn \(n\) eine ganze Zahl ist, \(J^n (x)\) und \(J^{-n}(x)\) nicht mehr zwei verschiedene particuläre Integrale darstellen, hebt der Verfasser dadurch, dass er \(J^n (x)\) als erste und \[ \lim_{\varepsilon = 0} \cdot \frac{(-1)^n J^{-(n - \varepsilon)} (x) - J^{n -\varepsilon} (x)}{\varepsilon} \] als zweite partikuläre Lösung nachweist, wodurch er ausserdem zu der Reihenentwickelung \[ Y^n (x) = - \left( \frac{x}{2} \right)^{-n} \sum^{p = n - 1}_{p = 0} \frac{\varGamma (n - p)}{\varGamma (p + 1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2p} \] \[ +\left( \frac{x}{2} \right)^n \sum^{p = \infty}_{p = 0} \frac{(-1)^p}{\varGamma (n + p + 1) \varGamma (p + 1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2p} \left\{ \log \left( \frac{x}{2} \right)^2 \psi(n + p + 1) - \psi (p + 1) \right\} \] für die zweite Lösung bei granzen \(n\) gelangt, indem er \[ \psi (x) = \frac{d \log \varGamma (x)}{dx} \] setzt. Dann entwickelt er nach einem rationallen Princip eine Reihe von Integralausdrücken für die Cylinderfunktionen, bei denen er scharf zwischen den verschiedenen möglichen Voraussetzungen über die reellen Theile der Complexen \(x\) und \(n\) unterscheidet, leitet aus diesen semiconvergente Reihen für dieselben ab, welche grösstentheils neu sein dürften, und giebt einige beachtenswerthe Winke über die Natur solcher Reihen.