On the construction of the intersection points of two conic sections (Q1564974)

Denkt man sich durch zwei in einer Ebene gegebene Kegelschnitte zwei Oberflächen zweiter Ordnung gelegt, so sind die Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte zugleich die Schnittpunkte der den beiden Oberflächen gemeinsamen Raumcurve mit der Ebene der Kegelschnitte. Darauf beruhen die in den beiden Abhandlungen mit den Mitteln der orthogonalen Projection ausgeführten Constructionen der Durchschnittspunkte eines Kegelschnittes mit einem Kreise, dessen Mittelpunkt auf einer seiner Axen liegt, oder zweier Kegelschnitte, wenn eine Axe des einen in dieselbe gerade Linie mit einer Axe des anderen fällt. Diese Linie wird als Projectionsaxe und die Ebene der beiden Kegelschnitte als verticale Projectionsebene festgesetzt. Die Kegelschnitte sind in allen Fällen bestimmt: die Ellipse durch ihre beiden reellen Axen, die Hyperbel durch Asymptoten und Scheitel, die Parabel durch Axe, Scheitel und einen beliebigen anderen Punkt derselben. In der ersten Abhandlung wird durch den so bestimmten Kegelschnitt ein Cylinder, ein Rotations-Kegel oder Hyperboloid und durch den Kreis diejenige Kugel gelegt, deren Mittelpunkt in der Cylinder- resp. Rotationsaxe liegt, so dass die beiden Oberflächen sich in zwei Kreisen schneiden, deren Ebenen auf der horizontalen Projectionsebene senkrecht stehen, deren horizontale Projectionen also gerade Linien sind; die Schnittpunkte derselben mit der Projectionsaxe sind die vertikalen Projectionen der gesuchten Schnittpunkte, welche, da der Kreis gegeben ist, dadurch gefunden sind. Die Construction der Schnittpunkte einer Ellipse mit einem anderen Kegelschnitt wird dadurch, dass beide auf eine andere Ebene so projicirt werden, dass die Projection der Ellipse ein Kreis ist, auf diese erste Aufgabe zurückgeführt. Die Schnittpunkte von Hyperbeln und Parabeln unter einander werden gefunden,indem durch dieselben zwei concentrische Kegel gelegt werden, von denen der eine ein Rotationskegel ist, und die denselben gemeinsamen Kanten, sowie die Schnittpunkte dieser mit der Zeichnungsebene construirt werden. In einigen Fällen ergiebt sich eine einfachere Construction, wenn einer der beiden Kegel oder beide durch Rotations-Hyperboloide ersetzt werden, so dass die Schnittcurve aus zwei parallelen Kreisen besteht.