Über die Funktion \(\chi(s)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k(2k+1)^{-s}\) (Q1565229)

Es wird mittels einer von Wirtinger stammenden Methode die im Titel genannte \(L\)-Reihe untersucht und ihre Funktionalgleichung bewiesen. Wird \(\text{Re}\, s >1\) vorausgesetzt, so ist die Funktion \[ \Phi(x,s) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (-1)^k x^{-\frac 12}(\log x+2k\pi i)^{-s} \] regulär für \(| x| > 1\); sie besitzt die Laurent-Entwicklung \[ \Phi(x,s) = \sum_{\nu=1}^\infty \frac{(\nu-\tfrac 12)^{s-1}}{\Gamma(s)} x^{-\nu}. \] Setzt man in diesen beiden Reihen \(x = -1\), so ergibt sich bereits formal die Funktionalgleichung der \(L\)-Reihe, die unter Benutzung der Differentialgleichung \[ \frac{\partial \Phi(x,s)}{\partial x} + \frac 1{2x} \Phi(x,s) = -\frac sx \Phi(x,s+1) \] streng bewiesen wird.